第三章 空间向量 总结

空间向量定义及运算 直角坐标运算

概念： 向量

模 _________________________________________________

基线

零向量

相等向量

相反向量

共线向量 ________________________________________________

运算： 加法 ________________________________________________

减法 ________________________________________________

数乘向量 ________________________________________________

数量积 ：定义 ________________________________________________

性质

运算律

基本定理：

共线

共面

空间分解

空间向量在立体几何中应用

概念： 直线的参数方程 平行：

垂直：

夹角：

距离：平面的向量表示式 方向向量 法向量 三垂线定理 三余弦定理 结论 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 异面直线成角 线面成角 二面角 点面距离

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数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector）.而把那些只有大小，

没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。带有方向的线段叫做有向线段。

已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作∣∣。有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。

向量可以用有向线段表示。向量的大小，也就是向量的长度（ 或称模），记作∣∣

长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作0。

长度等于1个单位的向量向，叫做单位向量（ unit vector）。

向量也可用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如,

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors）,

如图就是用有向线段表示的两个平行向量 a 、b。向量a 、b平行，通常记作a ∥ b.

a         我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a ,都有 0∥a.

   b

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）.

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).

     a                  C           

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空间向量的应用

一．基本概念

1．（1）用空间向量处理“平行”问题         

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

线线平行∥∥；  线面平行∥；

面面平行∥∥

（2）用空间向量处理“垂直”问题         

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

线线垂直⊥∥；

线面垂直⊥⊥，⊥（是两条相交的直线）；

线面垂直⊥∥； 面面垂直 ⊥⊥

（3）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

异面直线所成角：

直线与平面所成角：

两个平面的夹角（平面的法向量分别为）：

（4）异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l₁、l₂，AB为其公垂线段，C、D分别为l₁、l₂上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.

（5）设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且P_o∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

2．当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)（化为向量问题或向量的坐标问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）

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数学基础知识与典型例题

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专题四:平面向量

【疑难点拨】

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（）,其中、满足  ＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.求单位向量方法是向量本身除以自身的模；

⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.

①当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且||＜||＋||；

   ②当两个向量和共线且同向时，、、的方向都相同，且；

③当向量和反向时，若||＞||，与方向相同 ，且||=||-||；

若||＜||时,与 方向相同，且|＋|=||-||.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，,（在△ABC中）

.(□ABCD中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量，，使=λ（λ∈R），那么∥；

反之，如∥，且≠0，那么=λ.

这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.

 =（x₁,y₁）=(x₂,y₂), 那么∥的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0 或者x₁y₂=x₂y₁

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高考向量考点总结

1.向量的概念

（1）向量的基本概念

①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。 ②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。 ③表示法：几何法：画有向线段表示，记为AB或α。

④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标.

AB=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)

（2）向量的运算

①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

???

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。

运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。

②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如

图5-2）：

λa=λ(x,y)=(λx, λy)

(1)︱?a︱=︱?︱·︱a︱;

(2) 当?＞0时，?a与a的方向相同；当?＜0

时，?a与a的方向相反；

当?=0时，?a=0．

(3)若a=（x1,y1），则?·a=（?x1,?y1）．

运算律

λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。

3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：

（1）．向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,

则∠AOB=? （0???180）叫做向量a与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则

a·b=︱a︱·︱b︱cos?． 00

其中︱b︱cos?称为向量b在a方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a·b=x1x2?y1y2 （ⅰ）a⊥b?a·b=0?x1x2?y1y2?0（a，b为非零向量）; ?x1x2?y1y2?0（ⅱ）向量a与b夹角为锐角?? ?(x1,y2)??

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平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？    提示：向量可以平移.

举例1  已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是_____.    结果：

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.

举例2  如下列命题：（1）若，则.

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若，则是平行四边形.

（4）若是平行四边形，则.

（5）若，，则.

（6）若，则.其中正确的是       .    结果：（4）（5）

二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.

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