圆与方程

1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

          特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2. 点与圆的位置关系：

 (1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

   a.点在圆内 d＜r；   b.点在圆上 d=r；   c.点在圆外 d＞r

 (2). 给定点及圆.

 ①在圆内   

 ②在圆上 

③在圆外

（3）涉及最值：

①　圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

②　圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

 

                                    

                                    

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高中数学必修2知识点总结

第四章圆与方程

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点与圆的关系的判断方法：

（1）>，点在圆外  （2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

4.1.2  圆的一般方程

1、圆的一般方程： 

2、圆的一般方程的特点：

 (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．

 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相交；

4.2.2  圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；

4.2.3  直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标

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  圆与方程

2、1圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2、2点与圆的位置关系：

 1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

    (1)点在圆上 d=r；    (2)点在圆外 d＞r；     (3)点在圆内 d＜r．

 2.给定点及圆.

 ①在圆内    ②在圆上 

③在圆外

2、3 圆的一般方程： .

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.

圆的直径或方程：已知

2、4 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种

（1）若，；

（2）；             （3）。

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；

（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；

（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线的距离为d,则直线与圆的

   位置关系满足以下关系：

相切d=rΔ＝0（2）相交d<rΔ>0；    （3）相离d>rΔ<0。

2、5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，。

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 圆与方程

1. 圆的定义：到定点（a,b)距离等于定长r的点的轨迹是圆。

   圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

                 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2. 点与圆的位置关系：

 (1)设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

   a.点在圆内 d＜r；   b.点在圆上 d=r；   c.点在圆外 d＞r

 (2)给定点及圆.

 ①在圆内   

 ②在圆上 

③在圆外

（3）涉及最值：

①　圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

②　圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

 

                                    

                                     

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关于圆与方程的知识点整理

一、标准方程

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材例2

②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

条件                                     方程形式

圆心在原点                          

过原点                              

圆心在轴上                        

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第四章圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

点与圆的位置关系：

当>，点在圆外

当=，点在圆上

当<，点在圆内

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；

当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；；

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)= r²

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；   当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

      圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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第四章 圆 与 方 程

★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }

★2、圆的方程

（1

点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系：

当(x0?a)?(y0?b)>r，点在圆外; 当(x0?a)?(y0?b)=r，点在圆上

当(x0?a)?(y0?b

)<r，点在圆内;

（2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D+E-4F)/4 （D?E?4F?0）

22DE?，半径为r?1 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,??22222222222222?22?2D2?E2?4F

当D?E?4F?0时，表示一个点；

当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：

?待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

?直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 2222

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交 （2）过圆外一点的切线k，

②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）

：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

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