篇一 :不定积分方法总结 2

不定积分方法总结

一.一个重要思想

拆分:用各种变换将一个合式分解成多个分式,这些分式的积分往往是好求的,再对每个分式进行积分,从而达到运算的简化。常见方法是裂项。

二.需要牢记的东西

不定积分基本公式一共26个,牢记这些公式有助于提高运算速度

1)∫cdx=cx   

2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c   

3)∫1/xdx=ln|x|+c   

4) ∫a^xdx=(a^x)/lna+c   

5)∫e^xdx=e^x+c   

6)∫sinxdx=-cosx+c   

7)∫cosxdx=sinx+c   

8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c   

9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c   

10)∫1/√(a^2-x^2)dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c   

11)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c   

12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13)  ∫secxtanx dx=secx+C

14) ∫cscxcotx dx=-cscx+C

 

15)∫0 dx=c   

16) ∫1/(1+x^2) dx=arctanx+c   

17) ∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c   

18) ∫tanx dx=-In|cosx|+c   

19) ∫cotx dx=In|sinx|+c   

20) ∫secx dx=In|secx+tanx|+c   

21) ∫cscx dx=In|cscx-cotx|+c   

22) ∫1/√(x^2+a^2) dx=In(x+√(x^2+a^2))+c   

23) ∫1/√(x^2-a^2) dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c

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篇二 :不定积分求解方法及技巧小汇总

    不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要:总结不定积分基本定义,性质和公式,求不定积分的几种基本方法和技巧,列举个别典型例子,运用技巧解题。

一.不定积分的概念与性质

定义1  如果F(x)是区间I上的可导函数,并且对任意的xI,有      F’(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数

定理1(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上一定有原函数,即存在可导函数F(x),使得F(x)=f(x)(xI)

简单的说就是,连续函数一定有原函数

定理2  设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则

(1)   F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数,其中C是任意函数;

(2)   f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2  设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)d(x)称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数,则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.

性质2  设函数f(x)存在原函数,k为非零常数,则kf(x)dx=kf(x)dx.

二.换元积分法的定理

如果不定积分g(x)dx不容易直接求出,但被积函数可分解为g(x)=f[(x)] ’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘(x)dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分,于是有g(x)dx=f[(x)] ’(x)dx=f(u)du.

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篇三 :解不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总

1.利用基本公式。(这就不多说了~)

2.第一类换元法。(凑微分)

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:

例1:

【解】

例2:

【解】

3.第二类换元法:

是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:

4.分部积分法.

公式:

分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑:

(1)降低多项式部分的系数

(2)简化被积函数的类型

举两个例子吧~!

例3:

【解】观察被积函数,选取变换,则

例4:

【解】

上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。

有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。

中,的选取有下面简单的规律:

将以上规律化成一个图就是:

 

但是,当时,是无法求解的。

对于(3)情况,有两个通用公式:

(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分)

5.几种特殊类型函数的积分。

(1)有理函数的积分

有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时,记得用递推公式:

例5:

【解】

故不定积分求得。

(2)三角函数有理式的积分

万能公式:

的积分,但由于计算较烦,应尽量避免。

对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成。再用待定系数 来做。(注:没举例题并不代表不重要~)

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篇四 :不定积分总结

不定积分

一、原函数

定义1  如果对任一,都有

                或

则称在区间I 上的原函数。

例如:,即的原函数。

      ,即的原函数。

原函数存在定理:如果函数在区间I 上连续,则在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数,使得对任一,有

1:如果有一个原函数,则就有无穷多个原函数。

的原函数,则,即也为的原函数,其中为任意常数。

2:如果都为在区间I 上的原函数,则之差为常数,即C为常数)

3:如果在区间I 上的一个原函数,则为任意常数)可表达的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2  在区间I上,的带有任意常数项的原函数,成为在区间I上的不定积分,记为

如果的一个原函数,则

            ,(为任意常数)

三、不定积分的几何意义

 不定积分的几何意义如图5—1所示:

不定积分总结                      

图 5—1

的一个原函数,则在平面上表示一条曲线,称它为的一条积分曲线.于是的不定积分表示一族积分曲线,它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线,其斜率都等于

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篇五 :不定积分解法总结

不定积分解题方法总结

摘要:在微分学中,已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中,很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词:不定积分;总结;解题方法

    不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用,为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处,望读者批评指正。

1 换元积分法

    换元积分法分为第一换元法(凑微分法)、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元,一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

1.当出现形式时,一般使用三种代换形式。

2.当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号,

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。

使用万能代换

    对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用,但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式,其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。

2 不定积分中三角函数的处理

    不定积分的计算中三角函数出现的次数较多,然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法,我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此,我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。

…… …… 余下全文

篇六 :不定积分解法总结

不定积分解题方法总结

    不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用,为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处,望读者批评指正。

1 换元积分法

    换元积分法分为第一换元法(凑微分法)、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元,一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

1.当出现形式时,一般使用三种代换形式。

2.当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号,

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。

使用万能代换

    对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用,但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式,其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。

2 不定积分中三角函数的处理

    不定积分的计算中三角函数出现的次数较多,然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法,我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此,我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。

1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数上下同乘变形为

 

,则为

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,注意的使用。

    三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难,适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

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篇七 :20xx考研题型超强总结之不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法总结

摘要:在微分学中,不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词:不定积分;总结;解题方法

不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。(这就不多说了~)

2.第一类换元法。(凑微分)

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:

例1:

【解】

例2:

【解】

3.第二类换元法:

是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:

  (7)当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号,

(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号,

4.分部积分法.

公式:

分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑:

(1)降低多项式部分的系数

(2)简化被积函数的类型

举两个例子吧~!

例3:

【解】观察被积函数,选取变换,则

例4:

【解】

上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。

有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。

中,的选取有下面简单的规律:

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篇八 :求不定积分的方法及技巧小汇总

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。

2.第一类换元法。(凑微分)

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:

例1:

【解】

例2:

【解】

3.第二类换元法:

是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:

4.分部积分法.

公式:

分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑:

(1)降低多项式部分的系数

(2)简化被积函数的类型

举两个例子吧~!

例3:

【解】观察被积函数,选取变换,则

例4:

【解】

上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。

有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。

中,的选取有下面简单的规律:

将以上规律化成一个图就是:

 

但是,当时,是无法求解的。

对于(3)情况,有两个通用公式:

(分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分)

5.几种特殊类型函数的积分。

(1)有理函数的积分

有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时,记得用递推公式:

例5:

【解】

故不定积分求得。

(2)三角函数有理式的积分

万能公式:

的积分,但由于计算较烦,应尽量避免。

对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成。再用待定系数 来做。(注:没举例题并不代表不重要~)

…… …… 余下全文