数学知识总结

有理数的加法运算      
      同号两数来相加，绝对值加不变号。
      异号相加大减小，大数决定和符号。
      互为相反数求和，结果是零须记好。
      【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
      有理数的减法运算
      减正等于加负，减负等于加正。
      有理数的乘法运算符号法则
      同号得正异号负，一项为零积是零。
      合并同类项
      说起合并同类项，法则千万不能忘。
      只求系数代数和，字母指数留原样。
      去、添括号法则
      去括号或添括号，关键要看连接号。
      扩号前面是正号，去添括号不变号。
      括号前面是负号，去添括号都变号。
      解方程
      已知未知闹分离，分离要靠移完成。
      移加变减减变加，移乘变除除变乘。
      平方差公式
      两数和乘两数差，等于两数平方差。
      积化和差变两项，完全平方不是它。
      完全平方公式
      二数和或差平方，展开式它共三项。
      首平方与末平方，首末二倍中间放。
      和的平方加联结，先减后加差平方。
      完全平方公式
      首平方又末平方，二倍首末在中央。
      和的平方加再加，先减后加差平方。
      解一元一次方程
      先去分母再括号，移项变号要记牢。
      同类各项去合并，系数化“1”还没好。
      求得未知须检验，回代值等才算了。
      解一元一次方程
      先去分母再括号，移项合并同类项。
      系数化1还没好，准确无误不白忙。
      因式分解与乘法
      和差化积是乘法，乘法本身是运算。
      积化和差是分解，因式分解非运算。
      因式分解
      两式平方符号异，因式分解你别怕。
      两底和乘两底差，分解结果就是它。
      两式平方符号同，底积2倍坐中央。
      因式分解能与否，符号上面有文章。
      同和异差先平方，还要加上正负号。
      同正则正负就负，异则需添幂符号。
      因式分解
      一提二套三分组，十字相乘也上数。
      四种方法都不行，拆项添项去重组。
      重组无望试求根，换元或者算余数。
      多种方法灵活选，连乘结果是基础。
      同式相乘若出现，乘方表示要记住。
      【注】 一提（提公因式）二套（套公式）
      因式分解
      一提二套三分组，叉乘求根也上数。
      五种方法都不行，拆项添项去重组。
      对症下药稳又准，连乘结果是基础。
      二次三项式的因式分解
      先想完全平方式，十字相乘是其次。
      两种方法行不通，求根分解去尝试。
      比和比例
      两数相除也叫比，两比相等叫比例。
      外项积等内项积，等积可化八比例。
      分别交换内外项，统统都要叫更比。
      同时交换内外项，便要称其为反比。
      前后项和比后项，比值不变叫合比。
      前后项差比后项，组成比例是分比。
      两项和比两项差，比值相等合分比。
      前项和比后项和，比值不变叫等比。
      解比例
      外项积等内项积，列出方程并解之。
      求比值
      由已知去求比值，多种途径可利用。
      活用比例七性质，变量替换也走红。
      消元也是好办法，殊途同归会变通。
      正比例与反比例
      商定变量成正比，积定变量成反比。
      正比例与反比例
      变化过程商一定，两个变量成正比。
      变化过程积一定，两个变量成反比。
      判断四数成比例
      四数是否成比例，递增递减先排序。
      两端积等中间积，四数一定成比例。
      判断四式成比例
      四式是否成比例，生或降幂先排序。
      两端积等中间积，四式便可成比例。
      比例中项
      成比例的四项中，外项相同会遇到。
      有时内项会相同，比例中项少不了。
      比例中项很重要，多种场合会碰到。
      成比例的四项中，外项相同有不少。
      有时内项会相同，比例中项出现了。
      同数平方等异积，比例中项无处逃。
      根式与无理式
      表示方根代数式，都可称其为根式。
      根式异于无理式，被开方式无限制。
      被开方式有字母，才能称为无理式。
      无理式都是根式，区分它们有标志。
      被开方式有字母，又可称为无理式。
      求定义域
      求定义域有讲究，四项原则须留意。
      负数不能开平方，分母为零无意义。
      指是分数底正数，数零没有零次幂。
      限制条件不唯一，满足多个不等式。
      求定义域要过关，四项原则须注意。
      负数不能开平方，分母为零无意义。
      分数指数底正数，数零没有零次幂。
      限制条件不唯一，不等式组求解集。
      解一元一次不等式
      先去分母再括号，移项合并同类项。
      系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。
      先去分母再括号，移项别忘要变号。
      同类各项去合并，系数化“1”注意了。
      同乘除正无防碍，同乘除负也变号。
      解一元一次不等式组
      大于头来小于尾，大小不一中间找。
      大大小小没有解，四种情况全来了。
      同向取两边，异向取中间。
      中间无元素，无解便出现。
      幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小)
      敬老院以老为荣，(同大就要取较大)
      军营里没老没少。(大小小大就是它)
      大大小小解集空。(小小大大哪有哇)
      解一元二次不等式
      首先化成一般式，构造函数第二站。
      判别式值若非负，曲线横轴有交点。
      a正开口它向上，大于零则取两边。
      代数式若小于零，解集交点数之间。
      方程若无实数根，口上大零解为全。
      小于零将没有解，开口向下正相反。
      用平方差公式因式分解
      异号两个平方项，因式分解有办法。
      两底和乘两底差，分解结果就是它。
      用完全平方公式因式分解
      两平方项在两端，底积2倍在中部。
      同正两底和平方，全负和方相反数。
      分成两底差平方，方正倍积要为负。
      两边为负中间正，底差平方相反数。
      一平方又一平方，底积2倍在中路。
      三正两底和平方，全负和方相反数。
      分成两底差平方，两端为正倍积负。
      两边若负中间正，底差平方相反数。
      用公式法解一元二次方程
      要用公式解方程，首先化成一般式。
      调整系数随其后，使其成为最简比。
      确定参数abc，计算方程判别式。
      判别式值与零比，有无实根便得知。
      有实根可套公式，没有实根要告之。
      用常规配方法解一元二次方程
      左未右已先分离，二系化“1”是其次。
      一系折半再平方，两边同加没问题。
      左边分解右合并，直接开方去解题。
      该种解法叫配方，解方程时多练习。
      用间接配方法解一元二次方程
      已知未知先分离，因式分解是其次。
      调整系数等互反，和差积套恒等式。
      完全平方等常数，间接配方显优势
      【注】 恒等式
      解一元二次方程
      方程没有一次项，直接开方最理想。
      如果缺少常数项，因式分解没商量。
      b、c相等都为零，等根是零不要忘。
      b、c同时不为零，因式分解或配方，
      也可直接套公式，因题而异择良方。
      正比例函数的鉴别
      判断正比例函数，检验当分两步走。
      一量表示另一量， 有没有。
      若有再去看取值，全体实数都需要。
      区分正比例函数，衡量可分两步走。
      一量表示另一量， 是与否。
      若有还要看取值，全体实数都要有。
      正比例函数的图象与性质
      正比函数图直线，经过 和原点。
      K正一三负二四，变化趋势记心间。
      K正左低右边高，同大同小向爬山。
      K负左高右边低，一大另小下山峦。
      一次函数
      一次函数图直线，经过 点。
      K正左低右边高，越走越高向爬山。
      K负左高右边低，越来越低很明显。
      K称斜率b截距，截距为零变正函。
      反比例函数
      反比函数双曲线，经过 点。
      K正一三负二四，两轴是它渐近线。
      K正左高右边低，一三象限滑下山。
      K负左低右边高，二四象限如爬山。
      二次函数
      二次方程零换y，二次函数便出现。
      全体实数定义域，图像叫做抛物线。
      抛物线有对称轴，两边单调正相反。
      A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
      顶点非高即最低。上低下高很显眼。
      如果要画抛物线，平移也可去描点，
      提取配方定顶点，两条途径再挑选。
      列表描点后连线，平移规律记心间。
      左加右减括号内，号外上加下要减。
      二次方程零换y，就得到二次函数。
      图像叫做抛物线，定义域全体实数。
      A定开口及大小，开口向上是正数。
      绝对值大开口小，开口向下A负数。
      抛物线有对称轴，增减特性可看图。
      线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
      如果要画抛物线，描点平移两条路。
      提取配方定顶点，平移描点皆成图。
      列表描点后连线，三点大致定全图。
      若要平移也不难，先画基础抛物线，
      顶点移到新位置，开口大小随基础。
      【注】基础抛物线
      直线、射线与线段
      直线射线与线段，形状相似有关联。
      直线长短不确定，可向两方无限延。
      射线仅有一端点，反向延长成直线。
      线段定长两端点，双向延伸变直线。
      两点定线是共性，组成图形最常见。
      角
      一点出发两射线，组成图形叫做角。
      共线反向是平角，平角之半叫直角。
      平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
      直平之间是钝角，平周之间叫优角。
      互余两角和直角，和是平角互补角。
      一点出发两射线，组成图形叫做角。
      平角反向且共线，平角之半叫直角。
      平角两倍成周角，小于直角叫锐角。
      钝角界于直平间，平周之间叫优角。
      和为直角叫互余，互为补角和平角。
      证等积或比例线段
      等积或比例线段，多种途径可以证。
      证等积要改等比，对照图形看特征。
      共点共线线相交，平行截比把题证。
      三点定型十分像，想法来把相似证。
      图形明显不相似，等线段比替换证。
      换后结论能成立，原来命题即得证。
      实在不行用面积，射影角分线也成。
      只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。
      解无理方程
      一无一有各一边，两无也要放两边。
      乘方根号无踪迹，方程可解无负担。
      两无一有相对难，两次乘方也好办。
      特殊情况去换元，得解验根是必然。
      解分式方程
      先约后乘公分母，整式方程转化出。
      特殊情况可换元，去掉分母是出路。
      求得解后要验根，原留增舍别含糊。
      列方程解应用题
      列方程解应用题，审设列解双检答。
      审题弄清已未知，设元直间两办法。
      列表画图造方程，解方程时守章法。
      检验准且合题意，问求同一才作答。
      添加辅助线
      学习几何体会深，成败也许一线牵。
      分散条件要集中，常要添加辅助线。
      畏惧心理不要有，其次要把观念变。
      熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。
      图中已知有中线，倍长中线把线连。
      旋转构造全等形，等线段角可代换。
      多条中线连中点，便可得到中位线。
      倘若知角平分线，既可两边作垂线。
      也可沿线去翻折，全等图形立呈现。
      角分线若加垂线，等腰三角形可见。
      角分线加平行线，等线段角位置变。
      已知线段中垂线，连接两端等线段。
      辅助线必画虚线，便与原图联系看。
      两点间距离公式
      同轴两点求距离，大减小数就为之。
      与轴等距两个点，间距求法亦如此。
      平面任意两个点，横纵标差先求值。
      差方相加开平方，距离公式要牢记。
      矩形的判定
      任意一个四边形，三个直角成矩形；
      对角线等互平分，四边形它是矩形。
      已知平行四边形，一个直角叫矩形；
      两对角线若相等，理所当然为矩形。
      菱形的判定
      任意一个四边形，四边相等成菱形；
      四边形的对角线，垂直互分是菱形。
      已知平行四边形，邻边相等叫菱形；
      两对角线若垂直，顺理成章为菱形

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高一数学知识总结必修一 一,集合 一,集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如: HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} 由 (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集 合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 : A={ 我 校 的 篮 球 队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法. 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大 括号内表示集合的方法.{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图: 4,集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 2 (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二,集合间的基本关系 1."包含"关系—子集 注意: A B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 ; B 是同一集合. 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 / / AB 或 BA 2. "相等"关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} "元素相同则两集 合相等" 即:① 任何一个集合是它本身的子集.AA ②真子集:如果 AB,且 A≠ B 那就说集合 A 是集合

B 的真子 集,记作 A B(或 B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真 子集. n n-1 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 二,函数 1,函数定义域,值域求法综合 2.,函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3,恒成立问题的求解策略 4,反函数的几种题型及方法 5,二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a,b 属于 Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a,b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a,b 属于 Q) 指数函数对称规律: 1,函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 2,函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称 3,函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x 如果 a > 0 ,且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ,那么: 1 ○ log a ( M N ) = log a M + log a N ; M 2 ○ log a = log a M - log a N ; N 3 ○ log a M n = n log a M (n ∈ R ) . 注意:换底公式 log c b log a b = ( a > 0 , a ≠ 1; > 0 , c ≠ 1; > 0 ) 且 c 且 b . log c a 幂函数 y=x^a(a 属于 R) 1,幂函数定义:一般地,形如 y = x α (a ∈ R ) 的函数称为幂 函数,其中 α 为常数. 2,幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点 (1,1) ; (2)α > 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间

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小学六年级上册数学知识总结

一、 分数乘法：

1.分数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，都是几个相同加数和的简便运算。

例：2/11×3的意义是求3个2/11是多少，也可以说是求2/11的3倍是多少。

2.分数乘整数和整数乘分数的方法：分母不变，用分数中的分子和整数相乘的积作分子，能约分的先约分，在计算。例：2/11×3=2×3/11=6/11

3.带分数乘整数的计算方法：县把带分数化成假分数后，分母不变，用分数中的分子和整数相乘的积作分子，能约分的先约分，在计算。如：3 1/5×2=16/5×2=32/5

4.分数乘分数的意义：就是求一个数的几分之几是多少。例：1/5×1/4的意义是1/5的1/4是多少。

5.分数乘分数的计算方法：分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为新的分母，能约分的先约分，在计算。例：1/5×1/4=1×1/5×4=1/20

6.小数乘分数的计算方法：先把小数化成分数，。分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为新的分母，能约分的先约分，在计算。例：0.5×1/7=1/2×1/7=1/14

7.带分数与分数相乘的计算方法：先把带分数化成假分数，分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为新的分母，能约分的先约分，在计算。

8.分数乘法混合运算的方法：没有括号的先算乘法，再算加减；有括号的先算括号里边的，再算括号外边的。

9.乘法交换律：a×b=b×c 乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c) 法分配律：(a±b)×c=a×c±b×c

10.异分母相加减的计算方法：先通分，化成同分母分数相加减，在计算。

11.求一个数的几分之几是多少的应用题：用乘法计算，一个数×几分之几=比较的数。例：20xx年世界人均耕地面积为2500平方米，我国的人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的2/5。求我国的人均耕地面积是多少平方米。 2500×2/5=1000（平方米）

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上教版五年级上数学知识总结：

第一单元、复习与提高

求符号所表示的数（方程的入门）：

（1）先写好解

（2）看好要求的数

（3）想好运算方法并列式

（4）等号对齐

（5）计算出结果

第二单元、小数乘除法：

小数乘整数

例一：把小数乘法转换为整数乘法来计算P7-8

例二：用竖式来计算纯小数乘整数，P9：

1、先把小数看作一个整数进行竖式计算

2、再看有几位小数，用四年级教的方法移小数点

如：有两位小数则÷100，要向左移动两位

例三：用竖式来计算带小数乘整数，P10：

1、末尾对齐

2、按照整数的计算方法算出积

3、从右往左数出几位，点上小数点

4、先点小数点，再划小数部分末尾0

例四：用竖式来计算小数乘整十数、整百数等，P11：

1、落0

2、点小数点

3、化简

小数乘小数

例一：用竖式来计算，P12-13：

小数乘小数时，先按照整数乘法的方法计算出积；再看两个因数中一共有几

位小数，就在积中从右往左数出几位，点上小数点

例二：用竖式来计算，P14：

乘得的积小数位数不够时，要在前面用0补足，在点小数点

例三：小数的比大小，P15：

如果两个因数都大于0时：

a×带小数>a

a×纯小数<a

a×1=a

整数加、乘法运算定律推广到小数

（1）整数的加法交换律、结合律，乘法结合律、交换律和分配律对小数 同样适用。

（2）加法交换律a＋b=b＋a

加法结合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c)

乘法交换律a×b=b×a

乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律(a＋\－b)×c=a×c＋\－b×c

（3）套用公式

要点：这些方法适用于递等式巧算和应用题计算

除数是整数的小数除法

例一：计算除数是整数的小数除法的方法，P18-19:

1、估算

（1）两个数同时乘上10、100、1000……（乘出来的数可以把小数变成 整数）

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第二章 有理数

正数和负数⒈正数和负数的概念 0既不是正数，也不是负数

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

有理数理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

1.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 整数正有理数正分数

有理数有理数（0不能忽视） 负整数 分数负有理数负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

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要点重温之集合、逻辑

1.集合运算中一定要分清代表元的含义。

[举例]已知集合P={y|y=x²，x∈R}，   Q={y|y＝2^x，x∈R}求P∩Q。

解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）| y=x²，x∈R}才表示函数图象），P=[0，+，Q=（0，+，P∩Q=Q。

[提高]A={x︳y=3x+1,y∈Z},B={y︳y=3x+1,x∈Z},求A∩B。

2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

[举例]若A={x|x²<a} B={x|x＞2}且A∩B=Φ，求a的范围（注意A有可能为Φ）。

解析：当a>0时，集A=（-，），要使A∩B=Φ，则≤2，得0<a≤4,

当a≤0时，A=Φ，此时A∩B=Φ，综上：a≤4（A=Φ的情况很容易疏漏！）

[巩固]若A={x∣ax=1},B={x∣x²=1}且B∩A=A，求a的所有可能的值的集合。

[关注]A∩B=A等价于AB

3.充要条件可利用集合包含思想判定：若AB，则A是B充分条件；若AB，则A是B必要条件；若AB且AB即A=B，则A是B充要条件。换言之：由AB则称A是B的充分条件，此时B是A的必要条件；由BA则称B是A的充分条件，此时A是B的必要条件。有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。

充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”。

[举例] 若非空集合，则“或”是“”的 （   ）              

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

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第十五章 常见应用题解法归类

一、列方程解应用题的一般步骤

（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系

列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

 （5）检—检验，检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

                检验后写出答案．（注意带上单位）

  (6)答--回答：写答案

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集：

行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），

等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，

数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等。

三、 行程问题

行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：  快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：  快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

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