知识点——圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是(  )

A．         B． 

C．        D．

（2）方程表示的曲线是_____

（3）利用第二定义已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

2.圆锥曲线的标准方程（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____；

（2）若，且，则的最大值是___，的最小值是     

（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______；

（4）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

椭圆：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆若椭圆的离心率，则的值是__

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__

（3）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______

（4）双曲线的离心率为，则=                    

（5）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是____

(6)设，则抛物线的焦点坐标为________

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圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．?

一、重、难、疑点分析

1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．

2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)

3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)

二、题型展示

1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A()、B()两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

   例1 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．

分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

由|AB|=8得:   ∴

又有得:或.

分析二:利用焦半径关系.∵

∴|AB|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．

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圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．

一、重、难、疑点分析

1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．

2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)

3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)

二、题型展示

1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A()、B()两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

   例1 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．

分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

由|AB|=8得:   ∴

又有得:或.

分析二:利用焦半径关系.∵

∴|AB|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．

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圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．

一、重、难、疑点分析

1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．

2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)

3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)

二、题型展示

1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A()、B()两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

   例1 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．

分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

由|AB|=8得:   ∴

又有得:或.

分析二:利用焦半径关系.∵

∴|AB|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．

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高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳

基础知识：

1．直线与圆的方程；

    2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

    3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。

基本方法：

1．  待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标

准方程中的待定系数、、、、等等；

2．  齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等

与比值有关的问题；

3．  韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标

设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．  点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也

叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．  距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、

向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例. 【浙江理数】设、分别为双曲线（>0、>0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（  ）

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高考圆锥曲线最经典题型总结

第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、(2010辽宁理数)设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐

近线垂直，那么此双曲线的离心率为

(A) (B) (C) (D)

【答案】D

2、(2010辽宁理数)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=

(A) (B)8 (C) (D) 16

【答案】B

3、(2010上海文数)8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 y2?8x 。

4、(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 .若 ，则 .

若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为y= ，则b等于。

【答案】1

5、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆C的公共点个数_____。

6、已知点P是双曲线 右支上一点， 、分别是双曲线的左、右焦点，I为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为(▲ )

A.4 B. C.2 D.

8、(2010重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点 ，排除B

9、(2010四川理数)椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是

(A) (B) (C) (D)

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点 ，

即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|=

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第37练　圆锥曲线中的探索性问题

题型一　定值、定点问题

例1　已知椭圆C：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．

破题切入点　(1)待定系数法．

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值．

解　(1)依题意得b＝，e＝＝，a²＝b²＋c²，

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，

设l交椭圆A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去y得(3＋4k²)x²－8k²x＋4k²－12＝0，

∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由＝λ，∴(x₁，y₁＋k)＝λ(1－x₁，－y₁)，

∴λ＝，同理μ＝，

∴λ＋μ＝＋＝

＝＝－.

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.

题型二　定直线问题

例2　在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x²＝2py(p>0)相交于A，B两点．

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解．

解　方法一　(1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)，

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