椭圆知识点

【知识点1】椭圆的概念:

   在平面内到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

   当动点设为M时，椭圆即为点集  

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

焦点在x轴上椭圆的标准方程:  ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

【知识点3】椭圆的几何性质:

规律:

(1)椭圆焦点位置与x²，y²系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(3)在椭圆中，离心率

(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；

(5)离心率公式：在中，，，

二、椭圆其他结论

1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是

若已知切线斜率K，切线方程为

2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是

3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF。

7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

…… …… 余下全文

双曲线知识点归纳总结

1、第一定义：到两个定点F₁与F₂的距离之差的绝对值等于定长（＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫双曲线（定义表达式描述为：（为正常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。  要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F₁F₂|。

    当|MF₁|－|MF₂|=2a时，曲线仅表示焦点F₂所对应的一支；

    当|MF₁|－|MF₂|=－2a时，曲线仅表示焦点F₁所对应的一支；

    当2a=|F₁F₂|时，轨迹是一直线上以F₁、F₂为端点向外的两条射线；

当2a＞|F₁F₂|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

3、双曲线的标准方程（，其中||=2c）

焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）

注意;如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。

4、点与双曲线    

   点在双曲线的内部;

   点在双曲线的外部;

   点在双曲线上

5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为渐近线方程：.

(2)若渐近线方程为双曲线可设为.

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

…… …… 余下全文

双曲线

1.定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数

的点的轨迹称为双曲线．。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4、双曲线的几何性质：

2.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝

1．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为（    ）

       A．2                B．             C．               D．4

2. 双曲线的离心率为（   ）

A．                B．               C．               D．

3．双曲线的渐近线方程是（    ）

       A．        B．          C．         D．

…… …… 余下全文

双曲线方程

1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：

一般方程：

⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点： 焦点：. . 准线方程

. 焦点：

或 . 渐近线方程：. 准线方程：或. 渐近线方程：

或ii. 焦点在轴上：顶点：，参数方程：②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；（分别为双曲通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：

构成满足

（与椭圆

焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

的渐近线方程为. 且过，求双曲线的方程？ . 如果双曲线的渐近线为⑸共渐近线的双曲线系方程：时，它的双曲线方程可设为例如：若双曲线一条渐近线为解：令双曲线的方程为：，代入得.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线

.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n. 简证： = .

…… …… 余下全文

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当MF?MF?2a时，则表示点M在双曲线左支上；

2

1

② 注意定义中的“（小于F1F2）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2c时，即MF?MF

1

2

?F1F2

2

,当MF

1

?MF2?F1F2

，动点轨迹是以F2为端点向

右延伸的一条射线；当MF

?MF1?F1F2

时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一

条射线；

若2a＞2c时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：

如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.

对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点P(x0,y0)在双曲线 (2)点P(x0,y0)在双曲线

xaxa

2222

??

ybyb

2222

?1(a?0,b?0)的内部??1(a?0,b?0)的外部?

x0aax0

2222

??

y0bby0

2

22

?1. ?1.

2

4. 形如Ax?By?1(AB?0)的方程可化为

2

2

x

2

1A

?

y

2

1B

?1

当当

1A1A

?0,?0,

1B1B

?0，双曲线的焦点在y轴上； ?0，双曲线的焦点在x轴上；

5.求双曲线的标准方程，

应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

6. 离心率与渐近线之间的关系

e?

2

ca

22

?

a?ba

2

22

?1?

2

ba

22

ba

22

1）e?

?b?1???

?a?

…… …… 余下全文

双曲线知识点

知识点一：双曲线的定义:

在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：

1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F₁、F₂为端点的两条射线（包括端点）；

4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F₁F₂的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质

1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长

2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为　

3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）

4.焦点三角形的面积，其中

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:

7.椭圆、双曲线的区别和联系：

…… …… 余下全文

双曲线知识点

                                                          指导教师：郑军

一、     双曲线的定义：

1.   第一定义：

到两个定点F₁与F₂的距离之差的绝对值等于定长（＜|F₁F₂|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

  要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F₁F₂|.

    当|MF₁|－|MF₂|=2a时，曲线仅表示焦点F₂所对应的一支；

    当|MF₁|－|MF₂|=－2a时，曲线仅表示焦点F₁所对应的一支；

    当2a=|F₁F₂|时，轨迹是一直线上以F₁、F₂为端点向外的两条射线；

当2a＞|F₁F₂|时，动点轨迹不存在.

                                    

…… …… 余下全文