线性代数知识点总结

第一章  行列式 

二三阶行列式

N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和  

            （奇偶）排列、逆序数、对换

行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）

              ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

          推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

              ③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

          推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；

          推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

              ④行列式具有分行（列）可加性

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线性代数总结

在学习线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单，我就这样半信半疑的开启了学习这门课的旅程。

在这本书的第一章中，我们主要学了以下几点：

一、    利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。

二、    n阶行列式的定义及性质。

三、    代数余子式的定义及性质。

四、    计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。

     在这第一章中还有一些细节值得我们注意：

1、         行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。

2、         进行列式的初等变换时r_i+r_j与r_j+r_i的区别。

3、         特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。

4、         上三角行列式与下三角行列式的特殊应用。

第二章我们主要学习了矩阵及其运算方法，主要内容如下：

一、同型矩阵（两个行列式的行数和列数均相等）、零矩阵（元素均为0）、对角矩阵（不在对角线上的元素都为0）、单位矩阵（对角线上的元素都为1的对角矩阵）、对称矩阵(A^T=A,其元素以对角线为对称轴相对应)等特殊矩阵的定义。

二、如何计算矩阵的加法、数乘、转置以及矩阵间的乘法。

三、可逆矩阵和伴随矩阵的概念和性质及其之间的联系。

四、分块矩阵的概念及其运算规律，行向量组与列向量组。

同样第二章中也有一些细节，如：

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第一章 行列式

1.二阶与三阶行列式

横排称行，竖排称列。

对角线法则

2.全排列及其逆序数

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。

对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序，于是在这n个元素的任意排列中，当某两个元素先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。（可规定有小到大为标准次序）

逆序数为基数的排列叫奇排列，为偶数的排列叫偶排列。

3.n阶行列式的定义

4对换

定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论

奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 定理2

P9

5行列式性质

1】行列式与他的转置行列式相等。

2】互换两行（列）行列式变号

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，此行列式为零。

3】行列式中某一行（列）的所有元素的都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。

推论 行列式中某一行/列的所有元素的公因子可以提到行列式的外面 4】行列式中如果有两行【列】元素成比例，则此行列式等于零

5】若行列式的某一行【列】的元素都是两数之和,等于把他们拆开组成两个新行列式的和。

6】把行列式的某一列【行】的各元素乘以同一数然后加到另一列【行】对应的元素上去，行列式不变。

上三角形式、下三角形式

6行列式按行按列展开

余子式、代数余子式

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么行列式等于aij与他的代数余子式的乘积。

定理

行列式等于他的任意行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 范德蒙德行列式

推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式成绩之和等于0

P20

7克拉默法则

如果线性方程组系数行列式不等于0，那么方程组有唯一解。 定理

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┠——※—◆—☆—★—目录—★—☆—◆—※——┨

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┠———————-第一章：行列式-———————┨

┃ §1．1 二阶、三阶行列式 ┃

┃ §1．2 n阶行列式 ┃

┃ §1．3 行列式的性质 ┃

┃ §1．4 行列式按行、列展开 ┃

┃ §1．5 克莱姆法则 ┃

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┠————————第二章：矩阵————————┨

┃ §2．1 矩阵的概念 ┃

┃ §2．2 矩阵的运算 ┃

┃ §2．3 几种特殊的矩阵 ┃

┃ §2．4 分块矩阵 ┃

┃ §2．5 逆矩阵 ┃

┃ §2．6 矩阵的初等变换 ┃

┃ §2．7 矩阵的秩 ┃

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┠—————-第三章：线性方程组-———————┨

┃ §3．1 线性方程组的消元解法 ┃

┃ §3．2 n维向量空间 ┃

┃ §3．3 向量间的线性关系 ┃

┃ §3．4 线性方程组解的结构 ┃

┃ §3．5 投入产出数学模型 ┃

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┠——————第四章：矩阵的特征值——————┨

┃ §4．1 矩阵的特征值和特征向量 ┃

┃ §4．2 相似矩阵 ┃

┃ §4．3 实对称矩阵的特征值和特征向量 ┃

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第三章            向量组的线性相关性

                    第一节n维向量及其线性运算

一、n维向量

定义3.1 

列向量，=（）行向量。

定义3.3 如果存在数使     

线性组合，线性表出（线性表示）。称为组合系数（或表出系数，表示系数）。

定义3.4  如果存在个不全为零的常数，，使满足

               （3-4）

则称向量是线性相关的，否则，便称则个向量是线性无关的。

注：给定向量组，，讨论其相关性的方法是：

设，求出，，，

如果只有零解，则线性无关；

如果有非零解，则线性相关；

例3.3讨论向量，，的线性相关性

解 设

由于

=++

=

从而有由此推得，这表明只有全为零才使成立，所以线性无关。

例3.4 已知向量线性无关，又讨论向量的线性相关性

解 设

= 

由于向量组线性无关，所以由式推得由此解得。

上面表明，要使式成立，只要取即可，显然，这样的有无穷多组，不妨取 ，这三个不全为零的数，它使 式成立，所以线性相关。

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         线性代数知识点总结

第一章  行列式 

二三阶行列式

N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和  

            （奇偶）排列、逆序数、对换

行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式）

              ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

          推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

              ③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

          推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；

          推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

              ④行列式具有分行（列）可加性

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第三章：矩阵的秩与线性方程组

第一节 矩阵的初等变换及其标准型

一、填空

1.矩阵 的逆矩阵为           .

二、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵.

1．  

三、利用初等变换求解下列矩阵方程

1．设，,  求使.

                           第二节  矩阵的秩

一、填空

1．设矩阵，且，为的一个阶子式，则_______.

2．矩阵的秩等于__________.

二、求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式.

1. 

                        第三节 线性方程组解的判定

一、填空

1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是_____.

2. 若线性方程组有非零解，则        ．

二、求解下列线性方程组.

1．    

三、取何值时，下列方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.

1． 

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