高数论文

                                  10物本常杰

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求数列极限的方法总结

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

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求数列极限的方法总结

数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **

指导教师   ****

摘　要　数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词   数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

      令1/n<,则让n>即可,

         存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,

所以.

2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.

例2:  求,其中.

解:  分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

,

原式=,

3. 利用夹逼性定理求极限

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求极限的方法总结及解答

1. 利用函数的图像；

 

            

2. 利用极限的运算法则

例：

3. 利用无穷小的性质：无穷小乘以有界函数还是无穷小

相关例题：

4. 利用无穷大和无穷小之间的关系

相关例题：

5. 利用分解因式，消去致零因子（消除隐患）

相关例题：

6. 通分，将差转化为商，判断函数的极限

相关例题：

7. 分子或分母有理化

相关例题：

8. 利用重要的结论

相关例题：直接使用结论

9. 重要极限一

标准形式:

标准形式的推广形式：

标准形式的等价形式：

标准形式的推广形式：

相关例题：

，，

10. 重要极限二

标准形式:

标准形式的推广形式：

标准形式的等价形式：

标准形式的推广形式：

 

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求数列极限的方法总结

摘　要　数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词   数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

      令1/n<,则让n>即可,

         存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,

所以.

2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.

例2:  求,其中.

解:  分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

,

原式=,

3. 利用夹逼性定理求极限

  若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有.

例3:求{}的极限.

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宁波大红鹰学院学生数学课程论文

高等数学中求极限的方法小结

2.求极限的常用方法

2.1 利用等价无穷小求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).

设?~??、?~??且lim[3]????lim；则：?与?是等价无穷小的充分必要条件为：??

????0(?)．

常用等价无穷小：当变量x?0时，

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?

x)~x,1?cosx~12x,2~x,(1?x)??1~?x．

例1 求limx?01?cosx． xarctanx

解 ?x?0时,1?cosx~12x,arctanx~x， 2

12x1 故，原式?lim2? x?0x2

例2 求lim(1?x)?1． x?0cosx?1

1

23123解 ?x?0时,(1?x)?1~121x,1?cosx~x2,因此: 32

12x2??． 原式?limx?023x2

16

宁波大红鹰学院学生数学课程论文

例3 求

x?0． 1x11解 x?

0时,1~x,tanx~x，故:原式=lim?． x?0x33

例4 求limx?0?ex?1?22xln(1?x)．

解 x?0时,ex?1~x,ln(1?x)~x,故: x21原式?lim2?． x?02x2

例5 试确定常数a与n，使得当x?0时，ax与ln(1?x3)?x3为等价无穷小． n

?3x22?3x333ln(1?x)?x?3x5?1 而左边lim解 lim， ?limnn?1n?1x?0x?0x?0axnaxnax

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高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设，

（i）若A，则有，使得当时，；

（ii）若有使得当时，。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

 （i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

 （ii）

 (iii)

 (iv)单调有界准则

（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

 （vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。

2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

洛必达法则（定理）

设函数f(x）和F(x）满足下列条件：

⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;

⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大

则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

注：  它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（i）“”“”时候直接用

(ii)“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；

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一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

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