概率论第二章随机变量的分布总结

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第二章  随机变量及其概率分布

1．  离散型随机变量

例1 设　　　　　　　　　　　　　，则

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8．知识点：离散型随机变量的分布律性质

下列各表中可作为某随机变量分布律的是（　　　）

 

A．                                                                 B．

C．                                                                 D．

答案：C

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概率论与数理统计第一章总结

1.随机事件

     在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A，B，C等表示。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。

2.样本空间

     随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。

     任一随机事件A都是样本空间的一个子集，必然事件A就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

3.事件的关系及运算

（1）事件的包含与相等：

（2）事件的和(或并)：

（3）事件的积(或交)：

（4）事件的差：

（5）互不相容事件：

（6）对立事件：

（7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律

4.随机事件的频率与概率的定义及性质

      设随机事件A在n次试验中发生了a次，则a/n称为随机事件A发生的频率。

      概率的公理化定义：

（1）    非负性

（2）    规范性

（3）    有限可加性

（4）    可列可加性

      概率的重要性质：

       （1）

       （2）P(Φ)=0

       （3）若A、B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

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概率论的基本概念

第一部分：内容联系

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。这就为我们提出了两个问题：第一，什么是随机现象，它需要满足那些条件；第二，统计规律性是什么。通过学习，我们知道了随机现象是指在个别试验终期结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。而统计规律性则是指在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。知道了概念，但如何研究随机现象？这就引出了第一节：随机试验。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。随机试验具有以下的特点:

可以在相同条件下重复进行；

每一次的实验结果可能不止一个，并且事先能明确实验的所有可能结果

进行一次实验前不能确定那一个结果会出现。

随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S;样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。而实验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次试验中当且仅当这一字集中的一个样本点出现时称这一事件发生。特别，由一个样本点组成的单点集称为基本事件;S称为必然事件；空集?不包含任何样本点，所以称为不可能事件。事件作为集合的一种,,它适用集合的所有运算性质。

对于事件，我们往往需要知道它在一次实验中发生的可能性大小，为此首先引入频率，他描述了事件发生的频繁程度，进而引出概率---表征事件在一次实验中发生的可能性大小的数。

频率：在相同条件下进行n次试验，事件a发生的次数Na称为事件A发生的频数，比值Na/n称为事件的频率,记为f n(A)。有定义可知其具有以下性质：（1）0≦f n(A) ≤1；

f n(S)=1；

若A1，A2，A3……为两两不相容的事件,则f n(A1∪A2∪A3∪……)= f n(A1)+ f n(a2)+ f n(a3)+…

大量实验证明，用频率表征事件可能性大小是合适的。但在具体实践中不具有易操作性，因而我们用概率。

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第五章

大数定律

定理一（契比雪夫定理的特殊情况）

设随机变量……相互独立（是指对于任意n>1，……是相互独立），且具有相同的数学期望和方差：…。作前n个随机变量的算术平均

则对于任意正数ε，有

证明：

由于

，

由契比雪夫不等式可得

在上式中令并注意到概率不能大于1，即得

设……是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数ε，有

则称序列……依概率收敛与a，记为

设，又设g(x,y)在点（a,b)连续，则

上述定理一又可叙述为：

定理一

设随机变量……，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：…，则序列依概率收敛于μ，即

定理二（伯努利大数定理）

设是n次独立重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0,有

或

证明：

因为～，有

…

其中，……相互独立，且都服从以p为参数的（0-1）分布，因而…，由定理一得

…

即

这个定理表明事件发生的频率的稳定性

定理三（辛钦定理）

设随机变量……相互独立，服从同一分布，且具有数学期望…，则对于任意正数ε，有

显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况

中心极限定理

定理四（独立同分布的中心极限定理）

设随机变量……相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：…，则随机变量之和的标准化变量：

的分布函数对于任意x满足

对其的解释：

均值为μ，方差为 >0的独立同分布的随机变量之和 的标准化变量，当n充分大时，有 ～

将上式左端改写成这样上述结果可写成：

当n充分大时，

～ 或 ～

这也就是说，均值为μ，方差为的独立同分布的随机变量…的算术平均，当n充分大时近似地服从均值为μ，方差为的正态分布

定理五（李雅普诺夫定理）

设随机变量……相互独立，它们具有数学期望和方差：

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第四章 数学期望和方差

数学期望：

设离散型随机变量X的分布律为…

若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=

设连续型随机变量X的概率密度为f(x),

若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=

数学期望简称期望，又称为均值

数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数学期望

定理

设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数）

1）X是离散型随机变量，它的分布律为…，若绝对收敛，则有

2）X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x）。若绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=

数学期望的几个重要性质：

1.设C是常数，则有E(C)=C

2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)

  若A,B相互独立，则有E(AB)=E(A)E(B)

3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)

方差

设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=

,记为σ（X)，称为标准差或均方差

对于离散型随机变量，

对于连续型随机变量，

随机变量X的方差计算公式：

方差的几个重要性质：

1.设C是常数，则D(C)=0

2.设X是随机变量，C是常数，则有

3.设X,Y是两个随机变量，则有

 

特别地，若X,Y相互独立，则有

   D(X+Y)=D(X)+D(Y)

4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X)

定理：（切比雪夫不等式）

设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=，则对于任意正数，不等式成立

协方差及相关系数

量称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即

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高中数学第十一章-概率

考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
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§11. 概率  知识要点

  

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.

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