积分方法大盘点
现把我们学了的积分方法做个大总结。
1、二重积分
1.1 X型区域上二重积分(必须的基本方法)
(1)后x先y积分,D往x轴上的投影得区间[a,b];
(2)"x [a,b],X=x截D得截线y1(x)#yy2(x)(小y边界y=y1(x)大y边界y=y2(x));
(3)by(x)蝌f(x,y)dxdy=蝌dx2f(x,y)dyay
D1(x)
1.2 Y型区域上二重积分(必须的基本方法)
(1)后y先x积分,D往y轴上的投影得区间[c,d];
(2)"y [c,d],Y=y截D得截线x1(y)#xx2(y)(小x边界x=x1(y)大x边界x=x2(y));
(3)dx蝌f(x,y)dxdy=蝌dy2(y)f(x,y)dxcx
D1(y)
1.2 极坐标二重积分(为简单的方法)
(1)总是后q先r积分;
(2)br蝌f(x,y)ds=蝌dq2(q)f(rcosq,rsinq)rdr
ar(q)
D1
其中,在D上a是最小的q,b是最大的q;"q [a,b],射线Q=q截D得截线r1(q)#rr2(q)(小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q))。用坐标关系x=rcosq,y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入(多一个因子r)。
当积分区域D的边界有圆弧,或被积函数有x2+y2时,用极坐标计算二重积分特别简单。
离 散
数 学 2、三重积分 2.1 二套一方法(必须的基本方法) (1)几何准备 (i) 将积分区域W投影到xOy面,得投影区域Dxy; (ii) 以Dxy的边界曲线为准线,作一个母线平行于z轴的柱面.柱面将闭区域W的边界曲面分割为上、下两片曲面S2:z=z2(x,y()大z边界);S1:z=z1(x,y()小z边界)("(x,y) Dxy,过(x,y)点平行于z轴的直线截W得截线z1(x,y)#zz2(x,y)); (2)z蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=蝌dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。 WD1(x,y)xy还有两种(W往xOz或yOz面投影)类似的二套一方法(举一反三)。 2.2 一套二方法(为简单的方法) (1)几何准备 (i)把W往z投影得轾犏臌c,d; (ii)任意给定z?轾犏臌c,d,用平面Z=z截W得截面(与z有关)Dz; (2)d蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=dzf(x,y,z)dxdy, c蝌WDz还有两种(W往x或y轴投影)类似的一套二方法(举一反三)。 2.3 柱面坐标计算三重积分(为简单的方法) (1)把积分写成二套一zx,y)蝌蝌f(x,y,z)dxdydz=蝌dxdy2(f(x,y,z)dzz,y)WD1(xxy(2)用极坐标计算外层的二重积分 z蝌蝌f(x,y,z)dv=蝌dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzzWD1(x,y)xybr2(q)zrcosq,rsinq) =蝌dqrdrf(rcosq,rsinq,z)dzar 2(1(q)z1(rcosq,rsinq)(注意:里层的上下限也要用x=rcosq,y=rsinq代入)。(当用极坐标计算外层二重积分简单时。)
…… …… 余下全文