函数、极限与连续

(一)基本概念

1．函数：常量与变量，函数的定义

2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法

3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系

5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限

6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念　　 

(二)基本要求

1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。

3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

4. 了解复合函数、初等函数的概念。

5. 会列简单应用问题的函数关系式。

6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。

7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。

8. 掌握极限的四则运算法则.

9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。

10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。

11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。

12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

一元函数微分学

(一)基本概念

1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性

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第一章 函数

一、本章提要

基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数

第二章 极限与连续

一、本章提要

1.基本概念

函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.

2.基本公式

(1) ，

(2) (代表同一变量).

3.基本方法

⑴ 利用函数的连续性求极限；

⑵ 利用四则运算法则求极限；

⑶ 利用两个重要极限求极限；

⑷ 利用无穷小替换定理求极限；

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；

⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；

⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.

4.定理

左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.

第三章 导数与微分

一、本章提要

1.基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．

2.基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．

3.基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数；

⑶ 利用复合函数求导法则求导数；

⑷ 隐含数微分法；

⑸ 参数方程微分法；

⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

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学习微积分的感想

这个学期学习了微积分，了解了很多关于微积分的知识，在课堂上的学习和在课下的学习，让我更深层次的了解了他，运用了他。我发现他可以被广泛使用在经济学当中，在我们学习经济的过程中，无时无刻不需要他来帮助我们的学习。

微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。在课堂上虽然没有学习的很深奥，但是还是掌握了基本的微积分知识。

在学习的路上也不一直是一帆风顺的，也会遇到很多的困难，在课堂上有时候会听不明白老师的讲解，就需要我们在课前预习，在课堂上听明白了，在课下也要学会复习，学会积极地运用和使用它。才能让我把微积分学习得更透彻。有时候也会有自己思考很久，还是做不出来的题目，这个是个，要告诉自己不能放弃，要坚持次下去，多思考就会得出答案，有时候需要向老师提问，像同学请教，才能够解答出来，不过也不能放弃，要相信自己，坚持不懈的去学习和解答。

这个学期学期微积分使我不仅仅懂得了许多专业上的知识，让我在数学的世界里遨游，也帮助了我学习了经济专业学科的知识，更让我明白了，遇到了自己不会的题目要坚持下去，找对方法，好好使用它，就能够战胜困难，取得成功，学会运用巧妙地方法，不靠死记硬背，蛮力学习微积分，要学会用智慧去学习，灵活的学习，使用巧妙地方法解题，自己就会轻松很多，也会取得很大的成效。

在今后的学习当中，不管是基础科目，还是专业科目，都要学会坚持不懈，灵活的解决问题，不死记硬背，不放弃，不急躁，认真的对待每一科目的学习

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微积分题型总结

第一部分  函 数

    函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、  重点内容提要

1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②分段函数是一个函数而不是几个函数。

求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

    对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合）

    主要根据：

①分式函数：分母≠0

②偶次根式函数：被开方式≥0

③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量

例4

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。

3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。

4、关于复合函数定义

 将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。

指出的复合过程

5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到

6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。

二、   典型例题

  类型题1、求函数定义域

  例1   求函数的定义域.

解  要使函数表达式有意义，x要满足：

   即  

所以函数的定义域为（1，2）（2，4］.

例2 求函数f(x)=的定义域.

解  函数f(x)的定义域是[0，2].

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考研数学：微积分考点总结

　　一、历年微积分考试命题特点

　　微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

　　二、微积分中三大主要函数

　　微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

　　三、微积分复习方法

　　微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。

　　还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。

　　总的来说，学好微积分，就是要掌握三个基本函数、三大运算，所以广大研友们要在这些方面多下功夫！

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第一章 函数与极限

第一节 函数

§1.1 函数内容网络图

定义域

不等式

定义

表格法

表达方法 图象法

解析法

非初等函数

函数的特性 奇偶性

函数 周期性

有界性

反函数

重要的函数

复合函数

??1,?符号函数：sgnx??0,

?1,?x?0,x?0, x?0.

几个具体重要的函数 取整函数：f?x??[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数.

狄里克雷函数：D?x???

?1,?0,x为有理数,x为无理数.

§1.2 内容提要与释疑解难

一、函数的概念

·1·

定义:设A、B是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f，使得对A中任何一个实数x，在

B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称对应法则f是A上的函数，记为

f:x?y或f:A?B.

y称为x对应的函数值，记为 y?f?x?,x?A.

其中x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数f的定义域，记为D（f），

?

，在平面坐标系Oxy下，集合 f(A)??f(x)x?A?, 称为函数的值域，记为R（f）

?(x,y)y?f(x),x?D?称为函数y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因

为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。

1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确

定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数

的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。

2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除

了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。

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                    第一章知识点

1.极限的定义(ε-δ定义）：                           （重在理解)

2.两边夹法则  先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。

              但要注意：夹的时候一定要保证不等关系一直成立

3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题（P9 例题3）

4.复合函数问题中D_f∩Z_g≠Φ对于一个复合函数f(g(x)),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必须要有交集（小错误）

5.有基本初等函数(反对幂指三）经过有限次变换得到的函数均为初等函数（定理：初等函数在其定义域内均连续）

6.邻域均为开区间

7.用ε-ε-δ定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的δ，并要充分利用lim=n这一条件。P30 例1

8.Limf(x)=∞时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线

9.左右极限存在且相等==> 函数在这一点极限存在

10.函数极限存在则必有唯一性（反证法，与定义矛盾)

11.连续可推出极限存在

12.连续性的条件：1.f(x₀)有意义     2.f(x₀)在此处的极限存在  

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