第一章 函数.极限和连续
第一节 函数
1. 决定函数的要素：对应法则和定义域
2. 基本初等函数：（六类）
（1） 常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=xa）；
（3）指数函数（y=ax，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=logax，a>0,a≠1）
（5）三角函数；（6）反三角函数。
注:分段函数不是初等函数。特例：
是初等函数
3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。
4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。
5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
第二节极限
1.分析定义
当
时
总有 
称 
2.极限存在的充要条件
3.极限存在的判定准则
（1）夹逼定理
（x）
,且 
所以
（2）单调有界准则
单调有界数列一定有极限。
4.无穷小量与无穷大量
，则称 时，f（x）为无穷小量
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一、函数、极限、连续重要概念公式定理
（一）数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义：给定数列?xn?,如果存在常数A,对任给??0,存在正整数N,使当n?N时,恒有xn?A??,则称A是数列?xn?的当n趋于无穷时的极限,或称数列?xn?收敛于A,记为limxn?A.若n???xn?的极限不存在,则称数列?xn?发散.
收敛数列的性质：
(1)唯一性：若数列?xn?收敛,即limxn?A,则极限是唯一的． n??
(2)有界性：若limxn?A,则数列?xn?有界,即存在M?0,使得对?n均有xn?M. n??
(3)局部保号性：设limxn?A,且A?0?或A?0?,则存在正整数N,当n?N时,有xn?0?或xn?0?. n??
(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.
1
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(了解记忆)
1．海涅定理：limf?x??A?对任意一串xn?x0?xn?x0,n?1,2,??,都有 limf
x?x0
n??
?xn??
． A
f?x??lim?f?x??A; 2.充要条件：(1)limf(x)?A?lim?
x?x0
x?x0
x?x0
(2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A.
x??
x???
x???
3.柯西准则：limf?x??A?对任意给定的??0,存在??0,当
x?x0
0?x1?x0??,0?x2?x0??时,有f?x1??f?x2???.
…… …… 余下全文
【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
1，连续函数的极限
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第一节 函数
一、求表达式；
（1）已知函数f[g(x)]的表达式，求函数f(x)的表达式。 解：①令u=g(x)，从中反解出x=φ(u),再求出f(u)的表达式，然后将u换为x，可得f(x)；
②将函数f[g(x)]的表达式凑出g(x)的函数关系式，然后将所有g(x)的位置换为x，即得f(x);
自我理解：本人觉得第一种是通用的；第一种运用的是反推，也就是反代转换的意思，相当于原本是乘以了“一个数”，然后反过来解时再除以“这个数”的意思！
（2）已知函数f(x)和f[g(x)]的表达式，求函数g(x) 自我总结：将g(x)代入f(x)得出表达式= f[g(x)]的表达式，得出g(x)
二、函数的简单性质；
1、单调性 2、奇偶性 3、周期性 4、有界性
（1）单调性判定：
①定义判定： x2>x1 , f x2 ?f x1 >0 , 则增
x?f x
2>x1 , f x21 <0 ，则减
②导数判定： f′ x >0 增
f′ x <0 减
第一章 易忘点总结（函数、极限与连续）
（2）奇偶性运算：
两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数。
（3）周期公式：f(x+T)=f(x) 对于一个函数f(x)=Asin（ωx+φ)中，函数f(x)的最小正周期是T=2π/|ω|.对于一个函数f(x)=Atan（ωx+φ)中，函数f(x)的最小正周期是T=π/|ω|.
（4）有界函数：存在常数M>0，使得|?(x)|≤M
三、反函数/反三角函数：
是值域和定义域的调转，关于直线y=x对称；比如正弦函数在X轴上的点跑到Y轴上了。
第二节 极限
一、数列极限；
记为：?ε>0，?N>0，当n>?时，总有 xn?α <?.
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极限
摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.
关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、
一.引言
高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
二. 研究问题及成果
一、 极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：
；
；
；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 
，
都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
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高等数学是考研数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注!
凯程考研：
凯程考研成立于20##年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；
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师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。
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