知识点归纳

1.     求极限

2.1函数极限的性质P35

唯一性、局部有界性、保号性

P34 的充分必要条件是：

2.2 利用无穷小的性质P37：

定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。

例如： ,

2.3利用极限运算法则P41

2.4利用复合函数的极限运算法则P45

2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47

夹逼准则与单调有界准则，

，  ，，

，，，

，，，

，

2.6利用等价无穷小P55

当时，

 ，， ，，，

，，，0 为常数

2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64

如何求幂指函数的极限？P66

，

2.8洛必达法则P120

基本未定式：，，

其它未定式 ，，，，（后三个皆为幂指函数）

2.     求导数的方法

2.1导数的定义P77：

                     

左极限：

右极限：

定理1：在处可导的充分必要条件是：

2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、

复合函数的导数P87

2.3高阶导数P92

2.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P98

2.5函数的微分定义P100

2.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P103

3.求积分的方法

3.1原函数的定义、不定积分的定义P161

…… …… 余下全文

第一章 函数

一、本章提要

基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数

第二章 极限与连续

一、本章提要

1.基本概念

函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.

2.基本公式

(1) ，

(2) (代表同一变量).

3.基本方法

⑴ 利用函数的连续性求极限；

⑵ 利用四则运算法则求极限；

⑶ 利用两个重要极限求极限；

⑷ 利用无穷小替换定理求极限；

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；

⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；

⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.

4.定理

左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.

第三章 导数与微分

一、本章提要

1.基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．

2.基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．

3.基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数；

⑶ 利用复合函数求导法则求导数；

⑷ 隐含数微分法；

⑸ 参数方程微分法；

⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

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知识点

1.定义域：偶次根式内的式≧0

          反三角函数的对应式的绝对值≦1

          幂函数的幂≠0

          指数函数的底＞0且≠1

          对数函数的底＞0且≠1

2.几个常用字母表示：总成本：C

                    总收益：R       L（x）=R（x）-C（x）

                    总利润：L

                    需求量：

                    供给量：

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函数、极限与连续

(一)基本概念

1．函数：常量与变量，函数的定义

2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法

3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性

4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系

5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限

6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念　　 

(二)基本要求

1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。

2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。

3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

4. 了解复合函数、初等函数的概念。

5. 会列简单应用问题的函数关系式。

6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。

7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。

8. 掌握极限的四则运算法则.

9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。

10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。

11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。

12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

一元函数微分学

(一)基本概念

1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性

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一、第一换元积分法(凑微分法)

.

二、常用凑微分公式

  三、第二换元法

           ,

注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有

a)   可令

b)  可令

c)  可令

当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.

    四、积分表续

4.3分部积分法

分部积分公式：

                                  (3.1)

                                (3.2)

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).

5.1定积分的概念

5.2定积分的性质

两点补充规定：(a) 当时,  (b) 当时, .

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20##-20##学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题一

姓名：                     班级：                     学号：        

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、的定义域为                

2、                

3、               

              

4、                         则由定义可求得           

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微积分题型总结

第一部分  函 数

    函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、  重点内容提要

1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②分段函数是一个函数而不是几个函数。

求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

    对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合）

    主要根据：

①分式函数：分母≠0

②偶次根式函数：被开方式≥0

③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量

例4

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。

3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。

4、关于复合函数定义

 将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。

指出的复合过程

5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到

6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。

二、   典型例题

  类型题1、求函数定义域

  例1   求函数的定义域.

解  要使函数表达式有意义，x要满足：

   即  

所以函数的定义域为（1，2）（2，4］.

例2 求函数f(x)=的定义域.

解  函数f(x)的定义域是[0，2].

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