第一章     控制系统的状态空间表达式

１．           状态空间表达式

n阶　    

A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；

Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；

C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，

D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．           状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：

a选择状态变量；

b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；

c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．           模拟结构图（积分器　加法器　比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．           状态空间表达式的建立

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现代控制理论课程心得

摘 要：从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制 论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程，本人选择 了最为感兴趣的几个知识点进行分析，并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。

关键词：现代控制理论；学习策略；学习方法；

学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、 相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控 制理论已成为我国理工科大学高年级的主要课程。 从经典控制论发展到现代控制论， 是人类对控制技术认识上的一次飞跃。 经典控制论限 于处理单变量的线性定常问题， 在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。 现代控制 论面向多变量控制系统的问题， 它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具， 并用计算 机来实现。 现代控制论来源于工程实际， 具有明显的工程技术特点， 但它又属于系统论范畴。 系统论的特点是在数学描述的基础上， 充分利用现有的强有力的数学工具， 对系统进行分析 和综合。系统特性的度量，即表现为状态；系统状态的变化，即为动态过程。状态和过程在 自然界、 社会和思维中普遍存在。 现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起 来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提 出“结构不确定性原理” ，指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后 来采用状态变量的描述方法，才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初，卡尔曼(Kalman) 从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性 的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上，现代控制论中所研究的许多基本问 题，诸如最优控制和最佳估计等，都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程，在自学这门课程时，深感概念抽象，不易掌 握；学完之后，从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难，如何用现代控制论的基本原 理去解决生产实际问题则更困难，这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说，首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型，有了数学模型， 才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线。

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现代控制理论总结

第一章：控制系统的状态空间表达式

1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：

   在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。

   以状态变量X_1,，X₂，X₃，……X_n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。

   随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。

2、状态空间表达式：

   状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。

3、实现问题：

   由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题

   单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统

   最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。即无零，极点对消的传函的实现。

   三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）

4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）

   传函无零点

    
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。

 传函有零点见书p17页……..

5、建立空间状态表达式的方法：

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《现代控制理论》学习心得

摘 要：从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程，本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析，并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。

关键词：现代控制理论；学习策略；学习方法；学习心得

在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。

从经典控制论发展到现代控制论，是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题，在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题，它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具，并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际，具有明显的工程技术特点，但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上，充分利用现有的强有力的数学工具，对系统进行分析和综合。系统特性的度量，即表现为状态；系统状态的变化，即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定性原理”，指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法，才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初，卡尔曼(Kalman)从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上，现代控制论中所研究的许多基本问题，诸如最优控制和最佳估计等，都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。

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现代控制理论学习心得

一、综述

60年代产生的现代控制理论是以状态变量概念为基础，利用现代数学方法和计算机来分析、综合复杂控制系统的新理论，适用于多输入、多输出，时变的或非线性系统。飞行器及其控制系统正是这样的系统。应用现代控制理论对它进行分析、综合能使飞行器控制系统的性能达到新的水平。从60年代“阿波罗”号飞船登月，70年代“阿波罗”号飞船与“联盟”号飞船的对接，直到80年代航天飞机的成功飞行，都是与现代控制理论和计算机的应用分不开的。在控制精度方面，应用现代控制理论、计算机和新型元、部件，使洲际导弹的命中精度由几十公里减小到百米左右。

现代控制理论的核心之一是最优现代控制理论。这种理论在60年代初开始获得实际应用。这就改变了经典现代控制理论以稳定性和动态品质为中心的设计方法，而是以系统在整个工作期间的性能作为一个整体来考虑，寻求最优控制规律，从而可以大大改善系统的性能。最优现代控制理论用于发动机燃料和转速控制、轨迹修正最小时间控制、最优航迹控制和自动着陆控制等方面都取得了明显的成果。

现代控制理论的另一核心是最优估计理论（卡尔曼滤波）。它为解决飞行器控制中的随机干扰和随机控制问题提供一种有力的数学工具。卡尔曼滤波突破了维纳滤波的局限性，适用于多输入、多输出线性系统，平稳或非平稳的随机过程，在飞行器测轨-跟踪、控制拦截和会合等方面得到广泛应用。

二、发展过程 20世纪50年代中期,科学技术及生产力的发展，特别是空间技术的发展，迫切要求解决更复杂的多变量系统、非线性系统的最优控制问题(例如火箭和宇航器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制,到达目标的控制时间最小等)。实践的需求推动了现代控制理论的进步，同时，计算机技术的发展也从

计算手段上为现代控制理论的发展提供了条件，适合于描述航天器的运动规律，又便于计算机求解的状态空间模型成为主要的模型形式。

俄国数学家李雅普诺夫1892年创立的稳定性理论被引入到控制中。

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第一章 控制系统的状态空间表达式

1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组

2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式

3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述

4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0

5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一

6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量

第二章 控制系统状态空间表达式的解

1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)

2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ

第三章 线性控制系统的能控能观性

1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控

2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b

3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的

4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0

5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型

6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.

第五章 线性定常系统综合

1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵

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第一章

1、输入-输出描述:通过建立系统输入输出间的数学关系来描述系统特性。含：传递函数、微分方程（外部描述）

2、状态空间描述通过建立状态（能够完善描述系统行为的内部变量）和系统输入输出间的数学关系来描述系统行为。

3、limg_ij(s)=c,真有理分式c≠0的常数，严格真有理分式c=0，非真有理分式c=∞

4、输入输出描述局限性：a、非零初始条件无法使用，b、不能揭示全部内部行为。

5、状态变量的选取：a、n个线性无关的量，b、不唯一，c、输出量可作状态变量，d、输入量不允许做状态变量，e、有时不可测量，f、必须是时间域的。

6、求状态空间描述的传递函数矩阵：G(s)=C(sI-A)^-1B+D

7、输入-输出描述——>状态空间描述（中间变量法）

8、化对角规范形的条件：系统矩阵A的n个特征值λ₁，λ₂，…, λ_n两两互异，或当系统矩阵A的n个特征向量线性无关。

9、=Ax+Bu  =+ =P^-1AP =P^-1B =P^-1 =P^-1x =u

10、代数重数σ_i：同为λ_i的特征值的个数，也为所有属于 λ_i的约当小块的阶数之和。几何重数α_i：λ_i对应的约当小块个数，也是λ_i对应线性相关特征向量个数。

11、组合系统状态空间描述：

a、并联：，

                         

b、串联：，

c、反馈：

第二章

1、求e^At:a、化对角线线规范形法，b、拉普拉斯法

2、由  =Ax+Bu y=Cx+Du 求 x(t)=e^Atx₀+∫e^A(t-)Bu() d,(t≥0)

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