一、二次函数的定义

一般地，如果y=ax 2 +bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x二次函数。 注：二次函数y=a x 2 +bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次数是2；二次项系数a≠0。 二、二次函数的图象及画法

1、二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象是以为顶点，以直线x=2a2a4a为对称轴的抛物线。

2、用描点法画二次函数的步骤。

(1)用配方法化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴的两侧用对称性描点画图。

a注：(1) 的大小决定抛物线的开口大小。a越大，开口越小；a越小，

开口越大。

(2) a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b=0时，对称轴为轴；当ab﹥0时，对称轴在y轴左侧（简称：左同）；ab﹤0，对称轴在y轴的右侧（简称：右异）。

(3) c的大小决定抛物线与y轴的交点位置：c=0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。

(4)b2-4ac的大小决定抛物线与x轴的交点个数：b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

(5) 画抛物线的草图，要确定：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点。

?

-

b

,

4ac-b2

?

-

b

四、图象的平移

规律：对自变量x来说，向右平移用“－”，向左平移用“+”；

对自变量y来说，向上平移用“－”，向下平移用“+”；

2

例：将抛物线y=3x向右平移2个单位，再乡下平移3个单位得到的抛物线的解析

22

式为y+3=3（x-2），即y=3（x-2）-3。

注：该方法对其它函数图象的平移也适合。 五、顶点坐标的求法 1、配方法：即将y=ax 2 +bx+c化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ形式，得到顶点坐标为（h，k）。

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(1) 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c是常数)的函数称为二次函数

(2) 二次函数的图像特征

通过配方y=ax2+bx+c可写成y=a(x+b/2a )2+ (4ac-b2 )/4ac ,它的图像是以直线x=－b/2a为对称轴，以（－b/2a，(4ac-b2 )/4ac）为顶点的一条抛物线

（3）二次函数的性质

a值 函数的图像及性质

（1）开口向上，并且向上无限伸展（2）当x=- 时，

a>0 函数有最小值 ；当x<- 时，y随x的增大而减

小；当x>- 时，y随x的增大而增大；

（1）开口向下，并且向下无限伸展（2）当x=- 时，

a<0 函数有最大值 ；当x<- 时，y随x的增大而增

大；当x>- 时，y随x的增大而减小；

1、 求抛物线顶点坐标盒对称轴的方法

（1）公式法：y=ax2+bx+c=y=a(x+ b/2a)2 + (4ac-b2 )/4ac

顶点是（-b/2a ，(4ac-b2 )/4ac ），对称轴是直线x=-

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到顶点为（h,k）,

2 对称轴是直线x=h，这种方法一定要掌握好，同时要注意符号变化规律，如抛物线y=-x

+x+1=-(x+1/2 )2 ＋3/4 其顶点为（－1/2，3/4 ），不是（1/2 ，3/4 ），对称轴是x=－1/2 不是x=1/2

（3）抛物线的对称性

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

2、 二次函数图像的平移规律

图像的平移：将二次函数y=ax2 的图像进行平移，可得到y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图像

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二次函数 ??I.定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??II.二次函数的三种表达式 ??一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ??顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] ??交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ??注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: ??h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a ??III.二次函数的图像 ??在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， ??可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 ??IV.抛物线的性质 ??1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 ??x = -b/2a。 ??对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 ??特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） ??2.抛物线有一个顶点P，坐标为 ??P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 ??当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 ??3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 ??当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 ??|a|越大，则抛物线的开口越小。 ??4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 ??当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； ??当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 ??5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 ??抛物线与y轴交于（0，c） ??6.抛物线与x轴交点个数 ??Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 ??Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 ??Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 ??V.二次函数与一元二次方程 ??特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， ??当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， ??即ax^2;+bx+c=0 ??此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 ??函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 ????答案补充 ??画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 ??二次函数解析式的几种形式 ????(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). ????(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). ????(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. ????说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点 ????补充 ??如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k????定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c ??（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??x是自变量，y是x的函数 ????二次函数的三种表达式 ??①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ??②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ??③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) ??以上3种形式可进行如下转化： ??①一般式和顶点式的关系 ??对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 ??h=-b/2a=(x1+x2)/2 ??k=(4ac-b^2)/4a ??②一般式和交点式的关系 ??x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

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一、

交点问题 1.抛物线 y = 2 x ? 8 ? 3 x 2 与 x 轴有 个交点，因为其判别式

b 2 ? 4ac =
．

0，相应二次方程 3 x 2 ? 2 x + 8 = 0 的根的情况为

2. 函数 y = mx 2 + x ? 2m （ m 是常数）的图像与 x 轴的交点个数为 ． 3. 二次函数 y = ? x 2 + 6 x ? 9 的图像与 x 轴的交点坐标为 ．

4.函数 y = ( k ? 2) x 2 ? 7 x + ( k ? 5) 的图像与 x 轴只有一个交点，则交点的横 坐标 x0 = 二、求表达式问题 ．

1 已知抛物线 y = ? ( x ? h) 2 + k 的顶点在抛物线 y = x 2 上，且抛物线在 x 轴上 截得的线段长是 4 3 ，求 h 和 k 的值．

1 3

2 已知函数 y = x 2 ? mx + m ? 2 ．若函数 y 有最小值 ?

5 ，求函数表达式． 4

三、韦达定理问题 1 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( x1， ， 0)

B ( x2， x1 < x2 ) 两点，顶点 M 的纵坐标为 ?4 ，若 x1 ， x2 是方程 0)(
2 x 2 ? 2( m ? 1) x + m 2 ? 7 = 0 的两根，且 x12 + x2 = 10 ．

（1）求 A ， B 两点坐标； （2）求抛物线表达式及点 C 坐标；

2 已知抛物线 y = 2 x 2 ? mx ? 2m 的图象与 x 轴有两个交点为 ( x1 ,0), ( x 2 ,0) ，且

x1 + x 2 = 5 ，求 m 的值。
2 2

3 已知关于 x 的函数 y = (a 2 + 3a + 2) x 2 + (a + 1) x + 1 的图像与 x 轴总有交点。设函数的图
4

像与 x 轴有两个不同的交点 A，B，其坐标为 A（x 1 ,0）,B（x 2 ，0），当
1 1 + = a 2 ? 3 时，求 a 的值。 x1 x 2

四、函数与方程问题 1 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y（m）与飞行时间 x（s）的关系 满足 y=－

1 2 5 x ＋10x．

（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？ 2.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图 像的一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐 标为 B(6,5).
6

y
B(6,5) A(0,2)
4 2

(1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到 0.01 米).

C

0

2 4 6 8 10 12 14

x

3 已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图像与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的 周长和面积.

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一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

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初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。        这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

   方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

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二次函数知识点归纳

1.表达式：①一般式：（）；   ②顶点式：（）

③交点式：y=a(x–x₁)(x–x₂)  （a≠0）

2.顶点坐标：①（，）    ②（，）

3.顶点意义：①当时，，有最小值为；，有最大值为 

②当时，，有最小值为；，有最大值为

4.a的意义：，图象开口向上；，图象开口向下；

两函数图象大小形状相同.（即相等的抛物线为全等型抛物线）

5.对称轴：①；②；③（其中x₁、x₂为抛物线上对称点的横坐标）

6.对称轴位置分析：①，对称轴为轴；

                  ②，即a、b异号，对称轴在轴的右侧；  

③，即a、b同号，对称轴在轴的左侧；（左同右异）

7.增减性：①，（或x＞h）时，随的增大而增大；（或x＜h）时，随的增大而减小；

②，（或x＞h）时，随的增大而减小；（或x＜h）时，随的增大而增大

8. 抛物线与轴的交点为（0，），c值为抛物线在y轴上的截距.

9.抛物线与轴的交点：①时，抛物线与x轴有一个交点；②时，抛物线与x轴有两个交点；③时，抛物线与x轴没有交点.

10.图象的平移：化成顶点式，上加下减：；左加右减：

11．设抛物线与x轴交于A、B两点，则或

12．抛物线上重要的点：抛物线与x轴、y轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.

13．二次函数与一元二次方程根的分布：

①若抛物线与x轴的两个交点在正半轴上，则；

②若抛物线与x轴的两个交点在负半轴上，则；

③若抛物线与x轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则

…… …… 余下全文