质点动力学的基本方程

知识总结

1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例；

作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为

，应用时取投影形式。

3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题：

（1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。

动量定理

知识点总结

1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例；

作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为

，应用时取投影形式。

3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题：

（1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题

问题一 在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。

问题二 质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。

动量矩定理

知识点总结 1.动量矩。

质点对点 O 的动量矩是矢量

。

质点系对点 O 的动量矩是矢量

若 z 轴通过点 O ，则质点系对于 z 轴的动量矩为

。

。

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大学物理力学公式总结

? 第一章（质点运动学）

1. r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k Δr=r(t+Δt)- r(t)

一般地 |Δr |≠Δr

2. v= a==

3. 匀加速运动： a=常矢 v0=vx+vy+vz r=r0+v0t+at2

4. 匀加速直线运动：

v= v0+at x= v0t+at2 v2-v02=2ax

5. 抛体运动：

ax=0 ay=-g

vx=v0cos vy=v0sinθ-gt x=v0cosθ?t y=v0sinθ?t-gt2

6. 圆周运动：

角速度 ω==

角加速度 α=

加速度 a=an+at

法相加速度 an==R ，指向圆心 切向加速度 at==Rα ，沿切线方向

7. 伽利略速度变换：

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v=v’+u

? 第二章（牛顿运动定律）

1. 牛顿运动定律:

第一定律：惯性和力的概念，惯性系的定义

第二定律：F= , p=mv

当m为常量时,F=ma

第三定律： F12=-F21

力的叠加原理：F=F1+F2+……

2. 常见的几种力：

重力：G=mg

弹簧弹力：f=-kx

3. 用牛顿定律解题的基本思路：

1) 认物体

2) 看运动

3) 查受力（画示力图）

4) 列方程（一般用分量式）

? 第三章（动量与角动量）

1. 动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量，即 Fdt=dp

2. 动量守恒定律：系统所受合外力为零时，

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p=常矢量

3. 质心的概念：质心的位矢

rc=(离散分布) 或 rc = (连续分布)

4. 质心运动定理：质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度，即 F=mac

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9质点动力学

9-1动力学的基本定律

牛顿定律

1.第一定律（惯性定律）：

2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）

3.第三定律（作用与反作用定律）

9-2质点的运动微分方程

1.矢量形式

2.直角坐标形式

3.自然形式

质点动力学的两类基本问题

1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。----求微分问题

2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。----求积分

10 动量定理

10-1动量与冲量

动量 p=mv 

度量物体机械运动强弱程度

无论是质点系还是刚体系统，动量的主矢不能理解为作用在系统的质心上。

冲量I=Ft

累积效应

10-2动量定理

质点的动量定理:质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力

质点系的动量定理: 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。

动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关

外力                  内力

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。

10-3质心运动定理

质心运动定理: 质点系的质量与加速度的乘积等于作用于质点系上所有外力的矢量和

对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。

若作用在质点系上的合外力ΣF=0，则 ac=0，VC=常量，即质系的质心做惯性运动；

若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。

11 动量矩定理

动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关

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大学物理力学公式总结

Ø  第一章（质点运动学）

1.     r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Δr=r(t+Δt)- r(t)

一般地 |Δr |≠Δr

2.    v=   a==

3.    匀加速运动： a=常矢

v₀=v_x+v_y+v_z        r=r₀+v₀t+at²

4.    匀加速直线运动：

v= v₀+at       x=v₀t+at²          v²-v₀²=2ax

5.    抛体运动：

a_x=0   a_y=-g

v_x=v₀cos      v_y=v₀sinθ-gt

x=v₀cosθ?t       y=v₀sinθ?t-gt²

6.    圆周运动：

角速度 ω==

角加速度 α=

加速度 a=a_n+a_t

法相加速度 a_n==R ，指向圆心

切向加速度 a_t==Rα ，沿切线方向

7.    伽利略速度变换：

v=v’+u

Ø  第二章（牛顿运动定律）

1.    牛顿运动定律:

第一定律：惯性和力的概念，惯性系的定义

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         理论力学课程总结

一·用一条你认为的主线来贯穿总结本课程的学习内容

理论力学是一门研究物体机械运动的一般规律的科学。经过一学期的学习，对理论力学有了初步大体的认识，笔者试图通过“运动”这条主线对课程进行梳理与总结：

1·首先要强调的是这里说的运动是指速度远小于光速的宏观物体的机械运动，他以牛顿力学的基本定律为基础，属于古典力学范畴。理论力学所研究的是这种运动中最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。理论力学的内容主要包括：静力学、运动学、动力学。但笔者认为可以通过对物体运动的分析来将其串联。

2·运动学：经典力学中运动是指运动物体空间位置的变化。那么如何描述这种变化呢？这里就涉及到运动学的知识。物体的运动和静止是相对的，运动是绝对的，静止是相对的。选取的参考体不同，那么物体相对于不同参考体的运动也不同。故描述任何运动都需要指明参考体。现只从几何的角度来研究物体的运动，同时又根据研究对象的不同分为质点运动与刚体运动，根据运动的复杂程度分为简单运动与合成运动（刚体的平面运动），根据描述方式的不同分为轨迹、速度、加速度的讨论。

质点的运动：质点运动的可以通过矢量法、直角坐标系法、自然法进行描述，三者相互联系又各有侧重和优势。点的复合运动与点的运动学方法作比较，可知前者主要研究瞬时的速度与加速度，后者通过数学知识建立动点绝对方程，可以得到持续运动中的各个运动量。重点总结点的合成运动。点的合成运动有三个对象：动点，定参考系，动参考系。

点的速度合成 ：

点的加速度合成：

科氏加速度：，体现了动坐标系转动时，相对运动与牵连运动的相互影响。

其中，要强调的是瞬时牵连点的概念：任一瞬时，动系上与动点重合的点即为此瞬时动点的牵连点。而瞬时牵连点的速度与加速度即为动点的牵连速度与加速度，这个概念可以很好的判断 与 。通过做过的题目总结可知，动点与动系的选择往往是解题的关键，而易于辨析的相对轨迹是选择动点与动系的重要原则，用充分利用约束条件使得相对轨迹的速度与加速度易于求解。

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xxx班  xxx   学号：xxxxxxxx

20##学年理论力学课程总结

说到课程总结，不得不先谈一下理论力学这一学科。理论力学属于一般力学的范畴，而之后我们要接触到的材料力学和结构力学均属于固体力学，而力学的另一个分类流体力学主要研究液体和气体。

本学期所学的理论力学主要分为静力学、运动学与动力学三个方面。故名思议静力学主要研究平衡物体；运动学主要从集合的角度研究物体的运动速度加速度等；而动力学主要研究物体的运动与作用力之间的关系。

而所有的内容都可以归为一个公式。

任何事物的研究都应该是由简到繁，再由繁中去寻找简与繁之间的桥梁。理论力学的研究也是如此。就好像要练就一本武林秘籍一样，首先要打好基础，才能一步步的开始研究学习。

简，即为静止事物的研究，也就是说牛顿第二定律中=0。此时研究起来就会免去很多由于运动而带来的不便。也就是课本前三章讲的内容。

繁，即为运动物体的研究，即。而如果要研究运动物体的受力情况，就必须要先弄明白物体的运动情况，即其速度与加速度的分析，也就是4-6章的内容。

要分析运动物体的受力情况，就要寻找简与繁之间的桥梁，这也就出现了第7章的虚位移原理，与第八章的达朗贝尔原理。在我个人的理解，虚位移原理，即为将运动加入到了静止的结构中，通过计算虚功，另起为0，得到结构中的约束力等，这里主要会用到第4-6章中的速度分析来将其解出。也就是说解决这里问题的前提是学号了速度的分析。而说道达朗贝尔原理，即将静力学的内容加入到运动物体的分析之中，从来认为的引入了惯性力和惯性力偶的概念，而分析惯性力和惯性力偶的前提是第4-6章中的加速度分析。这也是我学期结束后，我认为运动学这部分重要的原因。

而后面的动力学三大定理以及拉格朗日方程则是在解决某些动力学问题的简单方法。在动力学普遍定理这一章有刚体平面运动微分方程，仔细看的话不难发现，其实就是达朗贝尔的变形，抑或说达朗贝尔原理是刚体平面运动微分方程的变形。

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第一章静力学的基本概念和公理受力图

一、刚体

P2 刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。

力的三要素：大小、方向、作用点

平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。

二、静力学公理

1力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。

2二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。

3加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。

（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

4作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。

5 刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。

三、约束和约束反力

P7 约束：

1柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体；

2光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力；

3光滑圆柱铰链约束：

①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定；

4链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。

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