数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵，          ∴………………………………①

∵          ∴…………②

由①②得：，

∴

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

解：由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

(2004全国卷I.22)已知数列中,,其中……，求数列的通项公式。P24（styyj）

例3. 已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

类型2 （1）递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

(2004全国卷I.15)已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n－1)a_n－1(n≥2)，则{a_n}的通项

                    P24（styyj）

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数列通项公式的求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵，          ∴………………………………①

∵          ∴…………②

由①②得：，

∴

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

解：由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

(2004全国卷I.22)已知数列中,,其中……，求数列的通项公式。P24（styyj）

例3. 已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

类型2 （1）递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

(2004全国卷I.15)已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n－1)a_n－1(n≥2)，则{a_n}的通项

                    P24（styyj）

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数列方法与技巧总结

1.a_n={ 注意验证a₁是否包含在a_n 的公式中.

2. 

 

如若是等比数列，且，则＝      （答：－1）

3.首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是             （答：4006）

4.等差数列中a_n=a₁+(n-1)d;S_n===

等比数列中a_n= a₁ q^n-1;当q=1,S_n=na₁ 当q≠1,S_n==

5.常用性质：等差数列中, a_n=a_m+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,a_m+a_n=a_p+a_q；

等比数列中，a_n=a_mq^n-m; 当m+n=p+q ，a_ma_n=a_pa_q；

如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则      （答：10）.

6.常见数列：{a_n}、{b_n}等差则{ka_n+tb_n}等差;

{a_n}、{b_n}等比则{ka_n}(k≠0)、、{a_nb_n}、等比;

{a_n}等差,则(c>0)成等比.

{b_n}(b_n>0)等比,则{log_cb_n}(c>0且c1)等差.

7.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q³,a/q,aq,aq³  (为什么？)

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一、等差数列与等比数列

二、等差数列的性质：

1若等差等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

2数列的项数为2，则；

3若等差数列的项数为，则，且，

4若等差数列、的前和分别为、，则=

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）

三、数列通项  数列{}的前项和与通项的关系：

1） 把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解

。

如已知数列满足，，则=________

在数列中，， ，则                 

2）已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：）设{an}的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。

3）（为p,q为常数且）的数列

（Ⅰ）可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出

（Ⅱ）可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出

（Ⅲ） ,先用累加法求再求

如已知，求（答：）；

数列中，，求  （.）

已知，求（答：）；

4）（）（为常数且）的递推数列都可以用倒数法求通项。可化为=求出的表达式，再求．

如（１）已知，求（答：）；

（２）已知数列满足=1，，求（答：）

四、例题讲解：

1、 

2、数列满足，求

3、已知数列中，，且是递增数列，求的取值范围（）；

4、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为                .     （答案：-2）

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数列部分常用方法总结

20##/11/22

l  数列通项的求法

一、公式法

1 运用等差（等比）数列的通项公式.

2 已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）

例1已知数列{a_n}的前n和满足求此数列的通项公式。

解得，当

所以

二、（可以求和）累加法

例2在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。

解析：

             上述个等式相加可得：

            

练习：1、已知数列，=2，=+3+2，求。

2、 已知数列满足求通项公式

3、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式

4. 已知数列满足 且   ，则求这个数列的通项公式

三.（可以求积）累积法

例3在数列中，已知有，()求数列的通项公式。

解析：原式可化为

又也满足上式；       

练习：1、已知数列满足，，求。

2、已知,,求数列通项公式.

3、已知数列满足，求通项公式

四． 待定常数法

可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。

例4在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。

解析：设，则

，于是

是以为首项，以3为公比的等比数列。

练习：1、在数列中， ，，求数列的通项公式。

2、已知，，求。

3、已知数列满足，求通项

4.已知数列满足，求数列的通项公式。

五．（）倒数法

例5已知，，求。

解析：两边取倒数得：，设则；

令；展开后得，；；

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基本数列通项公式及其求法

等差数列

　　对于一个数列｛a n ｝，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 S n 。

　　那么 ， 通项公式为 a n = a 1 + (n-1)* d ,其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

　　a 2 = a 1 + d ,

　　a 3 = a 2 + d,

　　a 4 = a 3 + d,

　　````````

　　a n = a n-1 + d,

　　将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

　　此外， 数列前 n 项的和 S n = n*a 1 + n*(n-1)*d /2, 其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

　　值得说明的是，（S n) /n = a 1 +(n-1)*d /2 ，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。

等比数列

　　对于一个数列 ｛a n ｝，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。

　　那么， 通项公式为 a n = a1 * q (n-1) (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

　　a 2 = a 1 *q,

　　a 3 = a 2 *q,

　　a 4 = a 3 *q,

　　````````

　　a n = a n-1 *q,

　　将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

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知识框架

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法

1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a_n+1=a_n+d及a_n+1=qa_n（d，q为常数）

例1、  已知{a_n}满足a_n+1=a_n+2，而且a₁=1。求a_n。

例1、解  ∵a_n+1-a_n=2为常数    ∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列

∴a_n=1+2（n-1）  即a_n=2n-1

例2、已知满足，而，求=？

（2）递推式为a_n+1=a_n+f（n）

例3、已知中，，求.

解： 由已知可知

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）

 

★         说明  只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由a_n+1=a_n+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a_n。

(3)递推式为a_n+1=pa_n+q（p，q为常数）

例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.

解法一： 由已知递推式得a_n+1=3a_n+2，a_n=3a_n-1+2。两式相减：a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）

因此数列{a_n+1-a_n}是公比为3的等比数列，其首项为a₂-a₁=（3×1+2）-1=4

∴a_n+1-a_n=4·3^n-1     ∵a_n+1=3a_n+2  ∴3a_n+2-a_n=4·3^n-1       即 a_n=2·3^n-1-1

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