高一数学   等差数列

一、考点、热点回顾

1.等差通项公式：；；递推公式：；

2.等差数列前n项公式：==

3.数列的关系：

4.（m+n=p+q）；（m+n=2k）

5.若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为；

  若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为。

6.公差为d的等差数列前n项和为，则仍成等差数列，公差为

7.已知是以公差为d的等差数列，若

，…，则成等差数列，公差为kd.即等差数列分成若干段后仍成等差数列。

8.等差数列若项数为奇数项，则；（设共有2n+1项）；

          若项数为偶数项，则；      （设共有2n项）。

9.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）利用：当＞0，d＜0，前n项和有最大值（可由≥0且≤0，求得n的值）

            当＜0，d＞0，前n项和有最小值（可由≤0且≥0，求得n的值）

（2）利用：由二次函数配方求得最值时的n值。

10.已知两个等差数列前2n-1项和之比等于通项公式之比：

二、典型例题

例1.【与的关系】已知数列的前n项和为，求它的通项公式.

变式：已知数列的前n项和为，求它的通项公式.

例2.【整体思想】若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。

例3.【比值问题】已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若

例4.在等差数列中，，，求。

方法一【方程思想】：

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第二章    数列

2.1等差数列

教学目标：

1.理解等差数列的概念，掌握如何判别是否是等差数列

2.能发现并总结常见的数列的规律，掌握其常见的变形方法

3.会使用常见方法求等差数列的通项公式，如累加法、跌乘法，证明法，减法(Sn-Sn-1)

教学内容：

1.     等差数列的定义（深刻理解）

等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

an=a1+(n-1)d即 an=dn+a1-d，就是一次函数形式。因为我们说数列可以看成关于n的函数f(n)，所以等差数列的通项公式就可以看成一个关于n的一次函数，事实上：{an}是等差数列等价于an=An+B，（A≠0，A，B∈R）。比如，要证明一个数列是等差数列，你只要证明他的通项公式是一次函数即可。     

2.     找数列的规律，总结规律，加强对等差数列的理解

（1）是否有限个

（2）是否正负摆动

（3）是否递增或者递减

（4）是否是常熟数列

（5）相邻两项差的关系

（6）后项与前项或者前几项和或者积的关系

（7）各项平方的关系

（8）各项倒数或者倒数和的关系

（9）分数分子分母的关系

总之：发现规律  总结规律  应用规律

3.     对给定的数列写通项公式及等差数列的通项公式的写法

等差数列的通项公式是一次函数

（1）由规律法或定义法写出等差数列通项公式

（2）An=Sn-Sn-1

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按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下十种类型：

1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。

（1）等差关系。这种题属于比较简单的，不经练习也能在短时间内做出。建议解这种题

时，用

口算。

12，20，30，42，（）

127，112，97，82，（）

3，4，7，12，（），28

（2）移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差，这种题初次做稍有难度

，做多

了也就简单了。

1，2，3，5，（），13

A 9 B 11 C 8 D7

选C。1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13

2，5，7，（），19，31，50

A 12 B 13 C 10 D11

选A

0，1，1，2，4，7，13，（）

A 22 B 23 C 24 D 25

选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所

以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。

5，3，2，1，1，（）

A-3 B-2 C 0 D2

选C。

2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种

（1）等比。从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。 8，12，18，27，（40.5）后项与前项之比为1.5。

6，6，9，18，45，（135）后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3

（2）移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。 2，5，10，50， （500）

100，50，2，25，（2/25）

3，4，6，12，36，（216） 此题稍有难度，从第三项起，第项为前两项之积除以2

1，7，8，57，（457） 后项为前两项之积+1

3.平方关系

1，4，9，16，25，（36），49

66，83，102，123，（146） 8，9，10，11，12的平方后+2

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1.（2010重庆）在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ca_n＋c^n＋1(2n＋1)(n∈N^*)，其中实数c≠0.

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)若对一切k∈N^*有a_2k＞a_2k－1，求c的取值范围．

2.（2009全国）在数列{a_n}中， a₁＝1,a_n+1＝（1+）a_n+.

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n.

3.(2008江西)

等差数列{a_n}各项均为正整数，，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=64，数列{}是公比为64的等比数列，.

（1）求a_n与b_n；

（2）求证：；

4.（2009山东）等比数列{a_n}的前n项和为S_n,已知对任意的n∈N*,点(n,S_n)均在函数y＝ +r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.

(1)求r的值;

(2)当b＝2时,记b_n＝2(log₂a_n+1)(n∈N*).

证明:对任意的n∈N*,不等式成立.

5.（2010湖南）数列{a_n}中，a₁＝a，a_n＋1是函数fn(x)＝x³－ (3a_n＋n²）x²＋3n²a_nx的极小值点．

(1)当a＝0时，求通项a_n；

(2)是否存在a，使数列{a_n}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

6.（2010全国）已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝c－.

(1)设c＝，b_n＝，求                数列{b_n}的通项公式；

(2)求使得不等式a_n<a_n+1<3成立的c的取值范围。

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等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

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等比数列

一、选择题

1.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝

A．12          B．10          C．8           D．2＋

2.在等比数列中，，则（   ）

   A.           B.              C. 或      D. －或－

3.等比数列中，已知，则的值为（    ）

A．16　      B．24  　        C．48            D．128

4.实数依次成等比数列，其中a₁=2，a₅=8，则a₃的值为（     ）

A. －4             B.4        　       C. ±4             D. 5

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2.1.1等差数列

一、自学指导

1、  等差数列的定义：如果一个数列从第      项起，每一项与它的前一项的差都等于          ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的        ，通常用字母      表示；其符号语言为              

2、  等差数列的通项公式：

若等差数列的首项是，公差是，则其通向公式为               

等差数列的通项公式可表示为关于的一次函数形式       

取等差数列中的任意两项，公差是，则有          

3、  等差中项：如果三个数组成等差数列，那么叫做的等差中项，且有         

4、  等差数列的前项和公式：若已知首项和末项，则             ，

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