篇一 :高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程 知识点

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.

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篇二 :坐标系与参数方程知识点汇总

坐标系与参数方程知识点

坐标系与参数方程知识点汇总

2、 ?、?为点M的极径、极角,有序数对(?,?)就叫做M的极坐标。

[注] :①一般地??0,当极角?的取值范围是[0,2?)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(?,?)建立一一对应的关系,否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,?),其中极角?是任意角,②负极径的规定:在极坐标系中,(??, ?)与(?,?)关于原点对称。 4、极坐标与直角坐标互化公式:(看课本)

?x2?y2?z2?r2

??x?rsin?cos?5、球坐标系:空间点P直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,?,?)的变换关系:?;

?y?rsin?sin?

??z?rcos?

?x??cos??6、柱坐标系:空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(?,?,z)的变换关系为:?y??sin?;

?z?z?

7、参数方程化为普通方程,常见方法有三种:(1)代入法(2)三角消元(注:范围易错) 8、常见曲线的参数方程:

(1)圆(x?x0)2?(y?y0)2?r2的参数方程为??x?x0?rcos? (?为参数); ?y?y0?rsin?

?x?acos?x2y2

(2)椭圆2?2?1的参数方程为? (?为参数); y?bsin?ab?

x2y2

(3)双曲线2?2?1的参数方程 ab

2c?x?ase? (?为参数); ???y?btan?x?2pt2

(4)抛物线y?2px参数方程? (t为参数); ?y?2pt

?x?x0?tcos?P(x,y)(6)过定点(t为参数); 00、倾斜角为?的直线的参数方程?y?y?tsin?0?

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篇三 :极坐标与参数方程知识点总结

第一部分:坐标系与参数方程

【考纲知识梳理】

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作M.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.

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篇四 :参数方程知识点整理

参数方程知识点整理:

1、 参数方程与普通方程互化

2、圆心在原点、半径为的圆的参数方程:为参数);若圆心为、半径为的圆的参数方程为:为参数).

3、椭圆的参数方程:为参数、

4、抛物线的参数方程------(不包含顶点的参数方程)

为参数、)--(的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数)

5、经过点、倾斜角为直线的参数方程:为参数).

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篇五 :参数方程知识点整理

参数方程知识点整理:

1、 参数方程与普通方程互化

参数方程化为普通方程:方法:消参;普通方程化为参数方程方法:1)确定其一与参数的关系2)确定另一与参数的关系;

2、圆心在原点、半径为的圆的参数方程:为参数);若圆心为、半径为的圆的参数方程为:为参数).

3、椭圆的参数方程:为参数、

4、抛物线的参数方程------(不包含顶点的参数方程)

为参数、)--(的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数)

5、经过点、倾斜角为直线的参数方程:为参数).

注:1已知直线过点及倾斜角,可求直线的参数方程;

2的单位方向向量方向向上时,同向;时,反向;时,重合;

3参数的几何意义:     4与曲线交于两点,对应的参数分别为,则:

曲线的弦长=;   线段的中点对应的参数 

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篇六 :高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程 知识点

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标:设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.

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篇七 :圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程  知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x轴上:.

 ii. 中心在原点,焦点在轴上:.         

②一般方程:.

③椭圆的标准方程:的参数方程为(一象限应是属于).

⑵①顶点:.

②轴:对称轴:x轴,轴;长轴长,短轴长.

③焦点:.

④焦距:.

⑤准线:.

⑥离心率:.

⑦焦点半径:

i. 设为椭圆上的一点,为左、右焦点,则

ii.设为椭圆上的一点,为上、下焦点,则

由椭圆第二定义可知:归结起来为“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得方程的轨迹为椭圆.

⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆:上的点.为焦点,若,则的面积为(用余弦定理与可得). 若此三角形面积为; 若是双曲线,则面积为.

4.在椭圆上存在点P,使的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是

5.椭圆的的内外部

(1)点在椭圆的内部.

(2)点在椭圆的外部.

6.椭圆的切线方程

(1)椭圆上一点处的切线方程是.

(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

(3)椭圆与直线相切的条件是.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

⑴①双曲线标准方程:.

一般方程:.

⑵①i. 焦点在x轴上:

顶点:  焦点:   准线方程 渐近线方程:

ii. 焦点在轴上:

顶点:.  焦点:. 准线方程:.  渐近线方程:,参数方程: .

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篇八 :高中数学知识点:双曲线方程知识点总结

高中数学知识点:双曲线方程知识点总结

双曲线方程

1. 双曲线的第一定义:

⑴①双曲线标准方程:. 一般方程:.

⑵①i. 焦点在x轴上:

顶点: 焦点: 准线方程 渐近线方程:或

ii. 焦点在轴上:顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或 . ②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:

构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)

⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.

⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.

例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?

解:令双曲线的方程为:,代入得.

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.

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