等比数列

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那第这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母表示（）.即（）

2.等比数列的通项公式.

3.等比数列的常用性质：

(1)等比中项：如果在与中间插一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项；在等比数列当中，总有；

(1)若，则，特别地，若，则.

(2)若总有.

(3)若数列是等比数列，则等也是等比数列，其中为非零常数．

(4)数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列.

(5)若为等比数列，则数列，，成等比数列.

4.等比数列的判定方法：

(1)定义法：（）是等比数列；

(2)等比中项法：是等比数列.

(3)通项公式法:(均是不为0的常数,) 是等比数列.

(4)前项和的公式法:(是不为零的常数,且)是等比数列.

巩回练习

１．在数列中，已知．

(1)    设,求;

(2)    设,求数列的通项公式.

2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别上2,5,13后成为等比数列的.

(1)求数列的通项公式.

(2)设数列的前项和为,求证:数列是等比数列.

等比数列前项和

1.       若等比数列的首项为,公比为,则等比数列的前项和的公式为

 .

2.       前项和常用性质(以下都是)

(1)    连续项的和(如)仍然成等比数列，且公比为.(注意:这连续项的和必须非零才能成立)

(2)   

(3)    为等比数列.

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等比数列

知识梳理：

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（1）当时

①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比；

②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比。

（2）对任何，在等比数列中，有，特别的，当时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二 例题解析

【例1】  已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（    ）

A．是等比数列                       B．当p≠0时是等比数列

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数列基础知识点和方法归纳                     

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解时，，∴                                   ①

时，                           ②

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中阑教育

等比数列

一、等比数列知识点

1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）2．等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b也就是，如果是的等比中项，那么

3．等比数列的判定方法：

①定义法：对于数列?an?，若Gb2?，即G?abaGan?1?q(q?0)，则数列?an?是等比数列 an

2②等比中项：对于数列?an?，若anan?2?anan?是等比数列 ?1，则数列?

4．等比数列的通项公式：如果等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an?a1qn?1an?amqn?5．等比数列的前n项和：

a1(1?qn)a?anq(q?1) ○1Sn?2Sn?1(q?1) ○1?q1?q

3当q?1时，Sn?na1○

当q?1时，前n项和必须具备形式Sn?A(qn?1),(A?0) 6．等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公比为q，则有an?amqn?m

② 对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av

也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???③若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么只有当公比q??1且k为偶数时,Sk，S2k?Sk，S3k?S2k不成等比数列

二、题型选析

试题对这块的考察与等差数列差不多，主要还是在求值、公比、性质以及求和上考察。

1、下列说法中不正确的是 （ B ）

A、在等比数列中，所有奇数项或者所有偶数项一定同号

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参考答案

例题1、  9^n-1      

       练习1、1、4

     2、B  [解析]　·()^n－1＝，∴()^n－1＝＝()³∴n＝4.

   3、A [解析]　∵{a_n}是等比数列，a₁＋a₂＝3，a₂＋a₃＝6，∴设等比数列的公比为q，则a₂＋a₃＝(a₁＋a₂)q＝3q＝6，∴q＝2.   ∴a₁＋a₂＝a₁＋a₁q＝3a₁＝3，∴a₁＝1，

∴a₇＝a₁q⁶＝2⁶＝64.

   4、A  [解析]　a₄＝a₁q³＝q³＝8，∴q＝2，∴a₅＝a₄q＝16.

   5、C   [解析]　m－k＝(a₅＋a₆)－(a₄＋a₇)＝(a₅－a₄)－(a₇－a₆)

                      ＝a₄(q－1)－a₆(q－1)＝(q－1)(a₄－a₆)

                      ＝(q－1)·a₄·(1－q²)

                      ＝－a₄(1＋q)(1－q)²<0(∵a_n>0，q≠1)．

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（一）知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；

2°.通项公式：

3°.前n项和公式：公式：

②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列

1°.若是等差数列，则

2°.若是等比数列，则

②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且

③设p、q、r、s为正整数，且

1°. 若是等差数列，则

2°. 若是等比数列，则

④顺次n项和性质：

1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n²d的等差数列；

2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qⁿ的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若是等比数列，

则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.

⑥若是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则而S奇、S_偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；

2°.若n为偶数，则

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数a_n=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数S_n=an²+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“S_n=a(1-qⁿ)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq²(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

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等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何，在等比数列中，有。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                 B．                  C．              D．

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