《反证法》的教学反思

天津大学附属中学 王学隽

在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。

在准备这节课时，首先从课程分析和学情分析着手。综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。学生从初中开始就对反证法有所了解，在选修2-1《常用逻辑用语》一章中学习了四种命题的关系，原命题与原命题的逆否命题同真同假，而反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。但并没有系统学习过反证法的步骤，因此对反证法的理解是零散的。

本节课意在改变传统教学过程中过于注重传授知识的倾向，让学生自己去发现问题，解决问题。先巧用故事《道旁苦李》引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从王戎判断“李为苦李”的过程中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义：

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

然后从生活实际问题出发：问题1、任找370个人，他们中生日肯定有相同的。这一结论是否正确？问题2、高二（1）班49名学生中，至少有5名学生的生日在同一个月份。这一结论是否正确？让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。接着给出问题：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充：

…… …… 余下全文

关于反证法的教学反思

反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学教学的难点．如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握，是需要教师精心设计的．学生为什么对反证法感到难以理解和掌握呢？主要有三个原因，或者说存在三个思维障碍．

一、思维方向转换存在障碍

在学习反证法之前学生比较习惯于直接证法，而反证法的思维方向需几次转换：转向结论；结论反设；归谬；转向假设；否定假设；肯定原结论．这种思维方向的多次转换对初学者来说感到不适应是自然的．但教师如果引导不得法，学生没能很好克服这一思维障碍，是容易造成思维混乱、影响他们正确地理解和掌握这种方法的．

二、证明步骤存在障碍

反证法的一般步骤共三条，这三条又可用反设、归谬、结论来概括．这里归谬是证明的关键性步骤．归，推导的意思；谬，矛盾的意思．推导可能是一两步，也可能是好几步；矛盾可能是与已知定义定理相矛盾，也可能是与题设相矛盾，还可能是自相矛盾．可见归谬这一步包容性大．如果教师未注意强调这点，学生就可能对这步的意义认识不够清楚，往往急于得出矛盾，甚至将推理错误产生的矛盾作为依据．证明过程中，常出

现下面的情况：推理论证表述不清；必要语句有遗漏；逻辑顺序出现颠倒．这些都是对反证法的证明步骤的逻辑关系和序列方向未能很好掌握的表现．

三、归谬起点推证存在障碍

在作出与命题结论相反的假设后，学生往往不知从何下手论证．这里主要存在两个障碍：第一，没有把“反设”具体化所带来的障碍．这一障碍只要通过有关的例题告诉学生如何把反设具体化（即用具体的数学式子或命题来表示）即可解决．如几何课本第二册P·96习题24第24题（1）：假设“有两个钝角或直角”，应具体表示成∠A＞90°，∠B＞90°，或∠A=∠B=90°．当反设具体化后，就能较快地联想到有关定理，找到证题的途径．第二，在否定结论后，有时需要把图形故意作错所带来的障碍．故意作错，一是不习惯，因为这和以前直接证法时要求画出准确的图形不完全一样；一是图形不好画，因为包含着矛盾的图形，本来是不可能存在的，但为了帮助思考，只能按一些条件画图，而把另一些条件加以歪曲．这是权宜之计，应向学生作适当的解释．

…… …… 余下全文

北师大版高中数学 选修2-2《1.3反证法》教学设计

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证

法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的

分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）

教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程:

一、复习导入

直接证明方法：综合法与分析法

间接证明方法：反证法

二、新授

1、反证法相关概念形成

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析

引入：课本例题P13例题1

2已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构： 一般地，由证明题矛盾.从而判断转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：

（1）做出否定结论的假设

（2）进行推理，导出矛盾

------“矛盾”主要是指：

A与假设矛盾；

B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

…… …… 余下全文

17.5反证法

数学组 刘荣格

【教学目标】

1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.

【教学重点】：反证法证题的步骤.

【教学难点】理解反证法的推理依据及方法.

【教学方法】讲练结合教学.

【教学过程】

提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2

二、探究

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。

探究：

假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C

证明：假设，∠B ＝ ∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

…… …… 余下全文

反证法”教学案例

数学组 梁华超

教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。 教学目的：

1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程

教学方法：互动式教学

教学过程：

（一） 导入（3分钟）：

师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？

（让学生讲这个故事）

师：这个故事蕴含什么道理？

生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。

师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）

（二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。

师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示）

（让学生分组讨论后交流）

生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。

师：可以，有没有比他更简单的方法呢？

生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。

师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。）

生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立

师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流）

…… …… 余下全文

第二章     推理与证明

2.2.3   间接证明之反证法

主备教师：穆云映

课时计划：2节课

一、内容及其解析：

反证法的理论依据是逻辑规律中的排中律；一个事物或者是A，或者是非A，二者必居其一。反证法即是证明结论的反面正确。由于互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，原命题为真时，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可以转换为证明它的逆否命题成立。本节课教学重点是理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤。教学难点是理解反证法的理论依据和方法。

二、目标及其解析

教学目标：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法

目标解析：

1、一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾。

（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

三、问题诊断分析

学生从初中开始就对反证法有所接触，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但是学生的逆向思维训练和发展都是不充分的。

四、教学支持条件分析的叙述方法举例

在本节课综合法的教学中，准备使用多媒体教学。

五、教学过程：

问题一：什么叫做反证法？

问题1：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

设计意图：让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫。

问题2：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？

假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数应该不超过8个，这与球的总数是9矛盾。因此，不论怎样染，至少有5个球是同色的。

…… …… 余下全文

高中数学教学反思四

高三数学组 王希东

对一名数学教师而言教学反思可以从以下几个方面展开：对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。

1.对数学概念的反思——学会数学的思考

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。

以函数为例：

● 从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等，以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数教学的基础，但不是全部。 ● 从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系。

方程的根可以作为函数的图象与轴交点的横坐标；

不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合； 数列也就是定义在自然数集合上的函数；

??

同样的几何内容也与函数有着密切的联系。

??

2.对学数学的反思

当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。

3.对教数学的反思

教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。

…… …… 余下全文