《怎样解题》波利亚

————读后感

著名数学家波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会学生思考的一种手段和途径．他专门研究解题的思维过程，分解解题的思维过程得到一张“怎样解题”表。

在数学学习中，一定量的解题训练是必不可少的，但仅依靠“题海战术”来进行解题训练是万万不可的，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，而在大学期间的数学学习更注重学生数学素质和能力的考查，因此我们与其穷于应付繁琐过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去深入发掘题目的各个侧面，对与此相关的一系列问题都能有一个系统的认识和把握．波利亚在他的名著《怎样解题》中很好的阐述了这一思想．《怎样解题》一书中对数学解题理论的建设主要是通过“《怎样解题》表”来实现的，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。

波利亚在《怎样解题》中所阐述的，即波利亚“怎样解题”表。第一步：必须弄清问题。弄清问题即审题，是解题的基础。因为只有正确理解了题意，才能正确地树立解题的思维方法，找出解题途径。在这一步，解题者必须了解问题的文字叙述．然后通过观察、分析、画图等把文字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来。把条件的

各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。第二步：找出已知与未知的联系，如果找不出直接的联系．则要考虑辅助问题，最终得出一个求解的计划。拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。当我们审清了问题之后， 熟悉的问题有一定的解题套路，不需要太多的思考；而对于不熟悉的题目，我们千万不要急于动笔演算，而是要在头脑中从整体上设计好一个解题思路，稍进一步的问题，需要有一点变化。一个正确的解题思路的形成过程是复杂的。它涉及解题者的知识因素、解题经验和解题能力。不过，从思维角度看，都是按照由果索因或由因导果而进行的。第三步：实现想法和计划。解题的核心即实现计划，就是根据所探索的思路付诸行动。在解题过程中，这一步是相对容易的。如果计划拟订完善，实现计划往往是做一些机械性的计算。但计划往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出现一些反复。另外，计算或操作过程中也会存在某些困难，甚至会遇到难以逾越的困难．这时原来的计划就必须推翻重来，此时所需要的主要就是解题者的耐心。解题方案给出了一个解题的总体框架。我们必须耐心地对每一步进行严格推导和计算，确保每一步的细节都是正确的，必须考虑问题的所有条件，简明规范地把解决问题的全过程完整地表达出来；第四步：验算所得到的解。这一步相当于平时解题所说的“验算”，它不只是简单地核对答案，判断解题是否正确，进而找出错误并予以纠正，而是要用多种方法，从不同的角度去获得正确的结果，重要的是对解题结果或方法进行迁移思考，总结解题经验，扩大解题成果。正如波利亚所说：“这是领会方法的最佳时

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读《怎样解题》有感

在老师的强力推荐下，我拜读了著名数学家和数学教育家波利亚的著作《怎样解题》。通过读了这一本书，给了我很深的感触，也给了我很大的启示。波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考；他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。本书是他专门研究解题的思维过程的结晶。全书都是围绕一张“怎样解题”表中的问题和建议而组织的。作者在书中引导学生按照表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。

在《怎样解题》一书中指出，解题分为四步走：

第一，理解题目，即审题。我们都知道审题是解题过程中最基础的环节，能否审好题是解答题目的关键。在该部分，作者就明确的告诉我们应该如何审题，即：“为知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否能满足？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”。在日常的教学中，老师常常对学生强调一定要仔细阅读题目，仔细审题，清楚的理解题目的意思。但事实告诉我们，学生在解题过程中的最普遍的不足之处——对题目的理解不完整，无法完全挖掘出题目中所蕴含的信息这一状况并没有因此而的得到改善。通过学习该部分，即可在很大程度上帮助学生形成良好的审题方法，进而养成良好的审题习惯。这个部分对于那些学习好的，有良好的阶梯习惯的学生来说可能其重要性不太突出，但对于更多的学生来说，学会审题将对他们正确解题起到极大的促进作用。

第二，找到已知量和未知量之间的联系。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数获相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去”。从理解题目到构思解题方案是一个漫长而曲折的过程。因为对于一些题目，学生即使做到了理解，但仍会感到无从下手。波利亚启发我们说“好的思路大多来源于过去的经验和以前获得的知识。”因此教师不妨引导学生思考“你知道一道与它有关的题目吗？”，并不一定就是一个曾经求解过的与当前题目紧密相关的题目，而更可能是通过变化、转换或修改叙述方式，找到与某个题目的联系点，从而“重新叙述这道题目”拟定一个有可能解决问题的方案。

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《怎样解题》读书笔记

“学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治?波利亚，这本著作就是《怎样解题》。

波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。 在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步

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读《怎样解题》

《怎样解题》这本书主要阐述了教授数学过程中的一些方法和技巧，首先作为老师应该帮助学生解决问题，第二尽可能多的做到让学生独立的完成任务，而我们起到的只是辅助的作用而已，这样做会有助于建立学生的自信心。学生在遇到某种相同的知识点的时候，我们应用不同的问法来启发学生思维来达到相同的目的。教师与学生是模仿与实践的关系，教师需要做的是培养学生独立解题的能力。.教师可以向学生示范如何从一个刚刚解决的问题引出新问题，这样做可以引起学生的好奇心。教师也可以留一部分创造发明给学生。循序渐进，善于诱导学生朝正确的思路走，激发学生的学习兴趣。我们在解决问题的时候，首先要弄清问题，只有清楚求的是什么，才知道寻求怎样的解决方案。教师在备课的时候，题目的选择要具有典型性和代表性，一题要能引出多个知识点，同时用这道题的解决方法可以应用到解决其他同类型的题目。在解决一部分数学知识的时候可以将抽象的问题具体化，可以把不同的知识点与现实中的问题联系起来，比如立体几何的问题，我们就可以根据其图形的特点，将其转化为现实中的某个物体进行想象，这样有利于找到解决问题的方案。知己知彼，百战百胜，了解学生出错或者不会的原因，从学生的角度出发把知识引入，这样学生会对错的地方或者不会的地方印象更加的深刻。告诉学生相同类型题目之间的联系，使学生在遇到类似的问题时，可以将困难迎刃而解。在解决某个数学问题时，从各个方面考虑入手。细分每个细节的特点，用不同方法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新结论来。考虑解的细节过程，并发现解题的规律和特点。类比的方法是数学中的重要方法，我们可以把新的知识与以前学过的知识进行类比，在旧知识的基础上有所增加和改进，增加辅助元素也是一种很常用的方法，比如添加辅助线，在高中立体几个中我们会经常遇到的添加辅助线来求解的题目。等价的问题，有时候我们在解决某个问题时可以转化成另外的一种问题，但是其是实质是一样的，比如二次函数恒成立的问题，我们可以转化成求函数的最值的问题，这样可能对于某些复杂的题目就可以迎刃而解了，解决完问题之后，我们需要对结果进行检验，以免犯错误。“推论”在高中数列的一章的解题中经常会遇到，图形的问题，数形结合是高中数学的重要的思想，图像可以更直观的把握问题的方向。归纳与数学归纳法，数学的学习是有规律可循的，因此我们不要盲目的做题，可以从做题中找出规律，研究出一套自己的方法，归谬法和间接证明法其实就是反证法。建立方程，建立方程的过程就是把文字语言转化成了数学语言，变得更加的简洁明了。对称的性质，数学中的许多函数图像都是对称的，或者是与x轴对称，或者是与y轴对称。潜意识的工作，当遇到久攻不破的数学题时，我们放下手中的难题，换换脑，放松一下，没准在休息的时候忽然间灵感来了，难题就可以迎刃而解了。从教学的规律中，我知道了要想给学生一碗水，我们作为老师必须有一桶水，这样才能为学生做到真正的传道授业解惑。

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《怎样解题》读后感

一直很喜欢读书，特别是文学方面的书籍，但是这学期所看的书，却让我的书史有了大改观。这学期所涉及要看的书，都是和教育有关的，虽然一直有做家教，之前也参加过支教活动，但是看完教育类的书籍后，却有点颠覆教育在我心里的印象。

《怎样解题》这本书初次接触，感觉很陌生，很难看的进去，相对于《小学数学名师同课异构》案例书来说，更加感到差异很大。

第一次看这本理论书，给我最大的不同是，似乎老师每次给学生讲解一道题目，都要从这道题先引申道另外一道题或者先问学生是否曾经做过类似的题目，然后再花费大量的时间去让学生解决类似的题目或者曾经做过的题目，最后再慢慢引到最开始的问题上，利用前面的题目的方法或定理再来解决最初的问题。回想起以前上学的情景，每当遇到问题的时候，问老师如何解题，老师都会先把题目理顺一遍，然后再告诉我们思路，最后再一边提问我们相关的定理或者概念，一边把题目讲解完，在这之后，如果题目比较典型，就在错题本或者在笔记本上把这道题记录下来，以后再次遇到类似的题目，则自己再回想之前的题目，想想是否能用相同的方法解题，或者直接翻开笔记本，再自己慢慢顺着思路把问题解决，大概遇到两次或者两次以上的类似题目后，都能够自己把问题解决，不需要翻开笔记或者问同学或老师。两者不一样的帮助学生的解题方法，感觉上都各有各的好处，但是不知道为什么感觉波利亚的教师帮助学生解题的方法感觉有点不太实际。

如果说老师要帮助每个学生解决他们不一样的难题，都需要用到先想类似的题目或者先回忆曾经做过类似的题目，再来慢慢引导学生把题目解决，这需要花费大量的时间，而每个老师的空闲时间有限，学生的问问题时间也有限，但是学生的难题却无限，这样下来，老师根本不能解决每个学生的问题，不能够完全帮助自己的学生，感觉有点不实际。但是如果老师把这种方法用在课堂上讲解典型的难题的时候，我觉得这却是比较好的一种方法，一方面可以巩固学生在之前所学的知识，另一方面，也可以扩展学生的题海，让学生能够更加牢固的学会解题的方法和做类似题目的思路，同时，也可以让成绩比较差的学生能够掌握该题的做题技巧。

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《怎样解题》读后感

在于老师的强烈推荐下，我拜读了著名数学家和教育学家波利亚的名著《怎样解题》。在未正式拜读之前，我懵懂的认为这只是一本关于怎样在考试中快速解题，拿到高分以及与大量解题技巧有关的书。可是，读完后，才发现，我原来的观点是多么的狭隘与片面。在书中，波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径，而并非仅仅局限于教学生简单机械地做题，得到正确答案。全书主要围绕“怎样解题”表中的问题与建议展开的，作者在详述例题的过程中也是按照表中的问题与建议来引导学生的，循序渐进，让学生自己总结思考，进而总结出做题的规律。

在“怎样解题”表中，作者将解题分为四个部分：

第一部分：你必须理解题目。我个人认为这一部分可以概括为我们平时所说的审题。在这一部分中作者明确告诉我们应该怎样审题： 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？大多数学生或许会觉得审题很简单，把题目读一遍不就是了吗？可是就是把题目读一遍，每个学生读的效果也是不一样的：有的学生读完了，什么也没有得到，脑袋一片空白，要想做题的话，还得读第二遍；有的学生读完了，只得到了一些无关紧要的信息，对做题毫无帮助；有的学生读完了，只得到了部分信息，或者可以说是显性信息，在做题时感觉已知条件不充分，做题会遇到瓶颈；而还有一部分学生读完后，则能将题干中全部信息收入囊中，无论显性还是隐性，这样做题时就显得游刃有余，从容镇定了。不难发现，刚才分析的四种学生中，只有最后一种是可以把题目完完整整的做出来的。那导致这种结果的原因是什么呢？就是审题不清，完全不理解或者片面的理解题目的意思。读完第一部分，关于审题方面，给我的启发是我们在读题的过程中，不要着急，一字一句的读，把我们捕捉到的每条有用的信息用简单的数学符号或者式子在演草纸上写下来； 然后看看通过这些显性的已知条件是否能得到一些隐性的也就是隐藏在题干中的其他已知条件，这些条件往往在做题中会起到关键性的作用；最后，我们回到题目所求的问题中，看看用哪些已知条件可以推导出来。大家都知道，良好的开端是成功的一半。对于做题来说，审题就是开端，所以审清题意是至关重要的，大家切不可忽视。

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《怎样解题》读后感

波利亚（1887-1985）是美国著名的数学家和数学教育家。因长期从事数学教学，他对数学思维的一般规律有着深入的研究。这本开拓思维的《怎样解题》就是其研究成果的总结，并因此而畅销全球。

作者认为一个重大的发现可以解决一道重大的难题，而在解答任何一道题目的过程中，也会有点滴的发现。这句话颇有现实意义，人如果缺乏善于发现的眼睛和发现题目的本质，就无法摒弃无关紧要的繁琐条件和层层陷阱，就无法抓住问题的关键，因此也就无从下笔解答题目了。

作者也认为当你解答的题目并不陌生，有些似曾相识的时候可能会不以为然，但你若因此而感到有兴趣，并被好奇所激发时，你的创造力将被激起，并被发挥出来；特别是如果你用自己独一无二的方法做出时，你将饱含成就感。

作者建议我们不要只做一些简单的基础题，它只会扼杀我们对数学的热情；也别一味地做变态级的难题，那样会打击我们的自信心。

虽然在我看来，此书的实践性不及一般的教辅书，但其对数学领域中怎样进行正确、快速、有效地解题，有着一针见血的指导作用。作者在书中运用了大量活泼、生动、通俗的散文写法，阐述了一个又一个数学问题。作者在此书中还提出了一个史无前例的观点：学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出的对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路。

读完全书，我最深的感受是我也爱上了数学。数学不仅是通向工程、技术的必由之路，它还充满着乐趣。

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