《圆》

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

                 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

                 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内      点在圆内；

2、点在圆上      点在圆上；

3、点在圆外      点在圆外；

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初中数学“圆”的知识点总结

发布者：贺雪峰 发布时间： 20xx-11-8 14:41:42

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

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                第四章：《圆》

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd   、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR² -πr²或S=π（R² - r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

三、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

                 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

                 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

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圆

圆的知识结构图：

一、圆的基本元素：

（一）确定圆的条件是圆心的位置和半径的长度，圆心相同，半径长度相同的两个圆为等圆。

圆的表示方法：以点为圆心的圆叫做“圆”，记作。

圆的基本元素：包括弦、弧、圆心角等，其中直径是过圆心的弦；半圆是直径所对的弧，弧还包括优弧和劣弧。优弧是较长的弧，表示为，劣弧是较短的弧，表示为。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆的对称性:

（二、）圆即是轴对称图形，又是中心对称图形

在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

在一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弧相等。

        垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

   圆周角:

  

圆周角：定点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。

（1）       定点在圆上

（2）       两边都与圆相交

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：在同一圆内同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；

推论2：半圆（直径）所对的圆周角是直角; 圆周角所对的弦是直径。

（注）对于两个相等的圆也有相同的结论

      在推论（1）中，“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，，在一般情况下是不相等的。

二、与圆有关的位置关系:

(1)        

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第一单元 圆

1．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母______表示。它到圆上任意一点的距离都相等．

2．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做________。一般用字母_______表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的________。

3．__________确定圆的位置，_________确定圆的大小。

4．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做_________。一般用字母__________表示。在圆内最长的线段是__________。

5．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。在同一个圆内，直径的长度是半径的____________，半径的长度是直径的__________。

用字母表示为：_________________________________________________

用文字表示为：______________________________________________

6．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。

7．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把这个比值叫做_____________，用字母_________________表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，通常取它的近似值3.14。

8．圆的周长公式：___________________________________________

圆周长=?×直径 圆周长=?×半径×2

9、把一个圆分割成相等的苦于份，可以拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（?r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= ___________________。用字母表示为：________________________________________

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圆的知识点归纳总结大全

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：

Ø  平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

Ø  平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

 

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

  （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

      （直角三角形的外心就是斜边的中点。）

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圆知识点总结

1、圆是由一条曲线围成的平面图形。

（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）

2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

在同一个圆里，有无数条半径和直径。

在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。

4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r =d÷2）

5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积

画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径

画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数

11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……

我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14

12、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C = 2πr

13、求圆的半径或直径的方法：d = C÷π r = C÷ π÷2= C÷2π

14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。

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