圆

【知识脉络】

【基础知识】

Ⅰ. 掌握圆的有关性质和计算

①  垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

   垂径定理的推论:

         平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

         弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

     平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

②  弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，如果两条弦、两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

③  在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.

    90°圆周角所对的所对的弦是直径；直径所对的圆周角等于90°.

④  圆内接四边形的性质:

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.

Ⅱ. 点与圆的位置关系

①  设点与圆心的距离为，圆的半径为，

则点在圆外；     点在圆上；   点在圆内．

②  过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.  一个三角形有且只有一个外接圆.

③  三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

Ⅲ. 直线与圆的位置关系

①  设圆心到直线的距离为，圆的半径为，

则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．

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与圆相关的基本知识和计算

一、知识梳理：

（一）：圆及圆的有关概念

1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；

2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧；

3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦；

4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；

5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；

（二）圆的有关性质：

1.对称性：?圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；?圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；

2.垂径定理及其推论：

（1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；

（2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

3.圆心角、弧、弦之间的关系

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。

4.圆周角与圆心角的关系

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径；

5.圆内接四边形对角互补。

（三）点与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系

　　如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．

　　(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．

2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（四）直线与圆的位置关系

1、(1)直线与圆的位置关系有关概念

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九上第5章圆的知识集锦

一、          名词解释：

1.         弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2.         弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.         半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4.         等圆——能够完全重合的两个圆叫做等圆。

5.         等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6.         圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.         圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.外心——三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

8.    内心——三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

9.    内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

10.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

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《圆》

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

                 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

                 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内      点在圆内；

2、点在圆上      点在圆上；

3、点在圆外      点在圆外；

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【人教版】初中数学九年级知识点总结：24圆

【编者按】圆是初中数学的重要内容，也是初中阶段考试的重点和难点，多以大题、综合题、压轴题的形式出现，因此对于这部分内容同学们应引起格外的注意。本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

一、目标与要求

1.了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理。

2.探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

3.进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算。

4.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算。

二、知识框架

  三、重点

  1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．

  2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．

  3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径及其运用．

5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交d<r；直线L和圆相切d=r；直线L和⊙O相离d>r及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r₁和r₂之间的关系：外离d>r₁+r₂；外切d=r₁+r₂；相交│r₂-r₁│<d<r₁+r₂；内切d=│r₁-r₂│；内含d<│r₂-r₁│．

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初中数学“圆”的知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

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知识点1：圆的基本性质

1圆是定点的距离等于定长的点的集合

2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4同圆或等圆的半径相等

5定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

6．任意一个三角形一定有一个外接圆.

7．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

8．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，

        所对的弦的弦心距相等
   推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中

        有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
9．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

   推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
   推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径  

10垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
   推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
        ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
        ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

11圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

12长度相等的两条弧是等弧.

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