数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：  

（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法：       

3．错位相减法：比如

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：   ；            

（三）例题分析：

例1．求和：①

           ②

           ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①

②

（1）当时，

（2）当

③

总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。

2．错位相减法求和

例2．已知数列，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。

解：    

当 

当

3.裂项相消法求和

例3.求和

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解:

练习:求   答案:

4.倒序相加法求和

例4求证：

思路分析：由可用倒序相加法求和。

证：令

则   

  等式成立

1．{a_n}是首项a₁＝1，公差为d＝3的等差数列，如果a_n＝2 005，则序号n等于(     )．

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专题：数列及其数列求和

?重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3)    等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

为等差数列：

 为等比数列：

    （q

3． 常用性质

为等差数列，则有

（1）       从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n>1）

（2）      

（3）       若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：

（4）       若则有：

（5）       若

（6）       为等差数列为常数)

（7） ┅┅仍成等差数列

（8）为等差数列，则为等差数列（p，q为常数）

（9）若项数为偶数2n，，

若项数奇数2n－1，，

（10）

为等比数列，则有

（1）       只有同号的两数才存在等比中项

（2）      

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                                    数 列

数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.

1.数列的有关概念：

（1）   数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

（2）   从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3）   通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.如: 。

（4）   递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.再如: 。

2．数列的表示方法：

（1）   列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a_n）孤立点表示。

（3）   解析法：用通项公式表示。     （4）递推法：用递推公式表示。

按有界性

4．数列{a_n}及前n项和之间的关系:

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高考数列求和解题方法大全

数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。

一、利用常用求和公式求和

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、             等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、                              4、

5、            

例1．已知，求的前n项和.

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

例2．      求和：

例3.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令

，求数列的前项和。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

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数列求和方法总结例题和答案全解

1 直接求和

     适用于等差数列或等比数列的求和（指前项和）问题,在四个量（或）, 中,已知三个量时,可以求出来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.

     等差数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                        已知时,利用公式求和.

     等比数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                         已知时,利用公式()求和.

例1

     此式可看为一个等比数列的前项和,且此等比数列首项为1,公比为,故可直接运用等比数列前项和公式 () 求和.

     解

例2 一个等差数列的前项和等于,前项和等于（其中m）,试求这个数列的前项和.

    根据等差数列前项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项与公差,然后运用求和.

    解 设这个数列的首项为,公差为,根据已知条件,有

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【高三复习教案】

数列的求和方法

知识归纳、学习要点、例题解析

（一）知识归纳：

       1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.

       2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.

       3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.

       4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.

       5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.

       （二）学习要：

       1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“”的求和；“裂项”的典型例子是数列“”的求和；“并项”的典型例子是数列“”的求和.

       2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若是等差数列，{}是等比数列，则数列{}的求和运用错位求和方法.

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授课教案

学员姓名：__________    授课教师：_             所授科目：　　　　　　

学员年级：__________   上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时

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