篇一 :椭圆的对偶性质总结

椭圆的对偶性质总结

1.         点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.         PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.

7.         椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆ab0)的焦半径公式:

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

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篇二 :椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义:

1、椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于定长(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距

对椭圆定义的几点说明:

(1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面);

(2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分;

(3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F1F2|时,我们得到的是线段F1F2;当这个“常数”小于| F1F2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。

(4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1, A2, B1, B2,于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”,且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

(5)中心在原点、焦点分别在x轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为:

相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,

不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的焦点坐标为(-c,0)和(c,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c)和(0,c)。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。

(二)椭圆的几何性质:

椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换,就可以得出的有关性质。总结如下:

几点说明:

(1)长轴:线段,长为;短轴:线段,长为;焦点在长轴上。

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篇三 :椭圆的一些性质

椭圆的对偶性质

椭   圆

1.         点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.         PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.

7.         椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆(a>b>0)的焦半径公式:

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

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篇四 :高中数学知识点总结_椭圆及其性质

椭圆及其性质

1.方程表示椭圆>0,>0,且中之较大者,焦点的位置也取决于的大小。

[举例] 椭圆的离心率为,则=    

解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;(ⅰ)若0<<4,则,∴,∴==,得=3;(ⅱ)>4,则,∴,∴==,得=;综上:=3或=

[巩固]若方程:x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是

A 1个    B .2个   C.4个   D.无数个

2.椭圆关于x轴、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则|x|≤a,|y|≤b,

a-c≤|PF|≤a+c,(其中F是椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最短的弦。

[举例1] 已知椭圆>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为      

解析:|AB|2=2+2,|BF|=,|FA|=+,在Rt⊿ABF中,(+)2=2+2+2

化简得: 2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=

注:关于,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

[举例2] 已知椭圆>0,>0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是           

解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,∴原来椭圆的焦准距也为,于是有:=    ①,

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篇五 :椭圆性质总结及习题

椭    圆

重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程;会用定义法、待定系数法求椭圆标准方程。

难点:椭圆标准方程的推导与化简;用椭圆的定义求椭圆的方程。

1 椭圆的两种定义:

①平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长的点的轨迹,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(时为线段无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P| ,0<e<1的常数。(为抛物线;为双曲线)

2 标准方程:

(1)焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0);

焦点F1(-c,0),  F2(c,0)。其中(一个

(2)焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0);

焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

3.参数方程 :椭圆的参数方程

       

4.性质:对于焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0)有以下性质:

坐标系下的性质:

①     范围:|x|≤a,|y|≤b;

②     对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0);

③     顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b;(半长轴长,半短轴长);

④     准线方程:;或

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篇六 :椭圆的几何性质教学案例

椭圆的几何性质

一、教案背景

1.面向对象:高二学生      

2.学科:数学

3.课题:椭圆的几何性质

4.课时:3课时        

5.课前准备:

(1)学生预习本节内容,了解椭圆的范围、对称性和顶点。

(2)教师准备课件。

二、教材分析

《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上,由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质,要注意对研究结果的掌握,更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一,是研究双曲线和抛物线几何性质的基础,起着承上启下的作用。 

三、教学目标                                          

知识目标

1.通过对椭圆标准方程的讨论,让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵,并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论,让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标

1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识,培养学生的合作精神。

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篇七 :椭圆的简单几何性质典型例题

典型例题一

例1  椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.

分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.

解:(1)当为长轴端点时,*

椭圆的标准方程为:

(2)当为短轴端点时,*

椭圆的标准方程为:

说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

解:   ∴

说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求,求,再求比.二是列含的齐次方程,再化含的方程,解方程即可.

典型例题三

例3  已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于两点,中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

解:由题意,设椭圆方程为

,得

,∴

为所求.

说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.

典型例题四

例4椭圆上不同三点与焦点的距离成等差数列.

(1)求证

(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率

证明:(1)由椭圆方程知

由圆锥曲线的统一定义知:

∴  

同理  

∵   ,且

∴  

即  

(2)因为线段的中点为,所以它的垂直平分线方程为

         

又∵点轴上,设其坐标为,代入上式,得

     

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篇八 :《椭圆的几何性质》测试题

《椭圆的几何性质》测试题

班级 ________ 姓名 ___________

一、选择题:本大题共12小题,每小题5学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.       设定点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,动点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!满足条件学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!

则动点学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的轨迹是                                           (   )                                                         

A. 椭圆       B. 线段      C. 椭圆或线段或不存在     D. 不存在

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