二次函数复习二

二次函数图象与性质训练：

1抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（  ）

   A．第一象限         B．第二象限

C．第三象限         D．第四象限

2．已知直线y=x与二次函数y=ax² －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（  ）

   A、2    B、1      C、3   D、      4    

3．已知反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx² －x+k²的图象大致为图1－2－3中的（  ）

4.已知二次函数 (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定有（  ） 

  A．b²－4ac＞0          B．b²－4ac＝0

  C．b²－4ac＜0          D．b²－4ac≤0

5..已知，点A（－1，），B（，），C（－5，）在函数的图像上，则，，的大小关系是（）

  A . ＞＞   B. ＞＞ 

C. ＞＞   D. ＞＞

二次函数图象与系数关系训练：

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二 次 函 数

主讲：陈老师

一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时

   （1）是一次函数   （2）是正比例函数    （3）是二次函数

二、二次函数是常数，的性质

（1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

③｜｜越大，开口越小。

（2）顶点是，对称轴是直线

（3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

② 当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。

（4） 轴与抛物线得交点为(0,)

例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )

A．  a>0      B． b＜0    C． c＜0     D． a＋ b＋ c>0

练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（  A   ）．

A．－1＜x＜3      B．x＜－1       C． x＞3        D．x＜－1或x＞3

2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b²=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ C   ）

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二次函数解决实际问题归纳及练习

一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：

1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；

最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。

（1）利用二次函数解决利润最大问题

此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。

例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)

①求M型服装的进价

②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

（2）利用二次函数解决面积最值

例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF

问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？

2、用二次函数解抛物线形问题

练习

1

：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为

4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.

3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

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二次函数专项讲解与练习

1、性质问题

例（2013山东泰安，19，3分）设A是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ）

A.    B.   C.   D.

方法一：把A、B、C三点的坐标分别代入，得y₁=-1+m, y₂=-4+m, y₃=-9+m,所以.方法二：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）²+a，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y₁），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y₁＞y₂＞y₃．故选A．

练习：

10、（2013浙江省衢州，10，3分）已知二次函数y＝－x²－7x＋，若自变量x分别取x₁，x₂，x₃，且0＜x₁＜x₂＜x₃，则对应的函数值y₁，y₂，y₃的大小关系正确的是(     )

A.y₁＞y₂＞y₃         B. y₁＜y₂＜y₃            C.y₂＞y₃＞y₁         D. y₂＜y₃＜y₁

10【解析】因为a=－<0，此二次函数的开口方向向下，又y＝－x²－7x＋＝－( x+7) ²＋32，抛物线的对称轴为x=-7，当x＞0＞-7时，y随x的增大而减少，故y₁＞y₂＞y₃．

【答案】A

6、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（C）

A． 最大值    B． 最小值     C． 最大值    D． 最小值

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二次函数复习导学案

教学目标

教法：引导式教学、讲练结合

1、二次函数的定义：

一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c常数项。

2.二次函数解析式的三种形式：

一般式：  y=ax² +bx+c(a≠0)

顶点式：   

         

交点式：  （

3.二次函数图像：（最值问题）

二次函数的图像是一条抛物线，

对称轴：         顶点坐标：          与y轴交点坐标

4.增减性：

当a  0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；

当a  0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小.

5.二次函数图像画法：

勾画草图关键点：1开口方向 2对称轴 3顶点 4与x轴交点 5与y轴交点

6.图像平移步骤

（1）配方 ，确定顶点（  ）（2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减

7.二次函数的对称性：

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x_1, x₂  其对应的纵坐标相等那么对称轴

8. a、b、c以及△＝b²－4ac对图象的影响．

（1）a决定：开口方向、开口大小（2）c决定与y轴的交点为（0，c）

（3）b与－共同决定b的正负性（b ——对称轴与a 左同右异）

9.抛物线与坐标轴的交点

（1）求二次函数y＝ax²＋bx＋c与x轴交点

当函数值y＝0时，求得的x的值就是抛物线与x轴交点的      ）．

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二次函数应用常见题型总结

一、利润型

（2013贵州省毕节市，25，12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

 (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

（20##山东省青岛市，22，10）（10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

⑴试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；

⑵若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

⑶若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

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二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是                 .

  ①y=x²－4x+1；   ②y=2x²；      ③y=2x²+4x； ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1；   ⑥y=mx²+nx+p；      ⑦y =错误！未定义书签。；    ⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t²+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为     。

3、已知函数y=(m－1)x^{m2 +1}+5x－3是二次函数，求m的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式 y=a(x－h)²+k，则最值为k；

如果解析式为一般式 y=ax²+bx+c  则最值为  

1．抛物线y=2x²+4x+m²－m经过坐标原点，则m的值为         。

2．抛物y=x²+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝     ，c＝     .

3．抛物线y＝x²＋3x的顶点在(   )

    A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限     D.第四象限

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