数列求和常用公式:

1、1+2+3+......+n=n×(n+1)÷2

2、12+22+32+......+n2=n(n+1)(2n+1)÷6

3、 13+23+33+......+n3=( 1+2+3+......+n)2 =n2×(n+1)2÷4

4、 1×2+2×3+3×4+......+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷3

5、 1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6、 1+3+6+10+15+... =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n)

=[1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+...=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)

= (n+1)×1+[1×2+2×3+3×4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6 1111 8） + + +÷(n+1) 22×33×4n(n+1)

11119 +1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+…+n

2222 = + +÷(n+1) 2×33×44×5n(n+1)

123(n-1)2×3×4×…(n-1) 10） + = 1×22×32×3×42×3×4×…×(n-1)2×3×4×…×n

11）12+32+52+..........(2n-1)2=n(4n2-1) ÷3

12）13+33+53+..........(2n-1)3=n2(2n2-1)

13）14+24+34+..........+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1) ÷30

14）15+25+35+..........+n5=n2 (n+1)2 (2n2+2n-1) ÷ 12

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【一】    求数列通项公式的常用方法

各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析!

一 公式法

数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出与或与,再代入公式或中即可.

例1 数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.

二 利用与的关系

如果给出条件是与的关系式,可利用求解.注意:应分和两种情况考虑,若两种情况能统一则应统一,否则应分段表示!

例2 若数列的前项和为求的通项公式.

三 累加法

   形如已知且 (为可求和的数列)的形式均可用累加法.

    例3 数列中已知, 求的通项公式.

四 累乘法

   形如已知且 (为可求积的数列)的形式均可用累乘法.

    例4数列中已知, 求的通项公式.

五 构造法

   若给出条件直接求较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而求出通项.常见的有形如 (为常数)且已知的数列可构造为等比数列求出,进而求出.注意用待定系数法求常数

    例5 ①数列中已知, 求的通项公式;

        ②数列中已知, 求的通项公式.

        ③数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式

【二】    数列求和的常用方法

数列求和关键入手点为求出通项公式并观察通项公式存在的特点而采取恰当的求和方法,另外各个方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析!

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数列求和方法总结

朱亚芬

数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学数学课程的学习,开拓中学生的知识领域都十分有益。这个开阔、有趣的“数列求和”的世界，可以极大的丰富我们的数学知识，提高我们的数学思维能力。本文针对数列求和方法加以总结分类，并对各种类型的数列给出其求和的主要方法与实例。

1 直接求和

     适用于等差数列或等比数列的求和（指前项和）问题,在四个量（或）, 中,已知三个量时,可以求出来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.

     等差数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                        已知时,利用公式求和.

     等比数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                         已知时,利用公式()求和.

例1

     此式可看为一个等比数列的前项和,且此等比数列首项为1,公比为,故可直接运用等比数列前项和公式 () 求和.

     解

例2 一个等差数列的前项和等于,前项和等于（其中m）,试求这个数列的前项和.

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递推数列分类解析

（1） an?1=an+f(n)类型————逐差法

例：an?1= an+n-2，a1=1,求通项公式。

2

答案：an=(n-5n+6)/2

(2) an?1=f(n)*an-----------------逐商法

例：已知a1=1，an= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1（n≥2） 则an=﹛1,n=1

___,n≥2 [04全国Ⅰ]

解： 由已知得，an?1= a1+2a2+3a3+……+（n-1）an?1+n an 与上式相减得

n≥2时，an?1- an=n an即an?1=(n+1) an

又a1=1 , a2/a1=1, a3/ a2=3, a4/ a3=4,……, an/ an?1=n 以上各式相乘得

an=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n>=2)

(3) an?1=p an+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列 即令an?1+λ=p(an+λ),与已知式对比系数

（4）Sn=f(an)

一般利用an=S1(n=1); Sn-Sn?1(n≥2)

(5)* an?1=pan+r*q( p≠1,0,q≠0,r≠0)

当p≠q时，一般用待定系数法构造等比数列，即令an?1+λq

nn?1n=p（an+λq） n对比系数得λ(p-q)=r,即λ=r、（p-q）转化为{ an+ q *r/(p-q)}为等比数列；当p=q时，

an?1=p an+r q，将递推式两边同时除以qnn?1，得an?1/ qn?1= an/ q+r/q,从而转化为{ an/ n

q}是等差数列

例：Sn=3/4* an-1/3*2^(n+1)+3/2,n=1,2,3,……求数列{ an}的通项。【06全国Ⅰ】 解：当n=1时，S1= a1=3/4* a1-1/3*4+2/3 得a1=2

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数列求和方法总结

一、公式法求和（明确数列是等差数列或等比数列）

⑴在等差数列{}中 

①   ②   ③

⑵在等比数列{}中

①  （）②  （）③  （）

1、求下列等差数列{}的前n项和

⑴      ⑵      ⑶

2、⑴求等比数列1，2，4，……从第5项到第10项的和

 ⑵在等比数列{}中，已知求的值

 ⑶在等比数列{}中，且求该数列的项数n和公比q

二、倒序相加法

如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数” 之和)等于首末两项之和（或等于首末两项“系数” 之和）， 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n和．

1、设f(x)=,若S=f()+f()+f()+……+f(),试求S的值。

2、已知f(x)=

试求f()+f()+……+f()+f(1)+f(2)+……f(2012)的值

三、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并化简即可。

1、已知数列的前n项和=﹣1+3﹣5+7﹣……+（-1）（2n﹣1），求

2、求数列的前n项和

3、已知数列的通项公式 ，求该数列的前项和 

四、裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去中间的很多项，最终达到求和的目的

1、求数列的前项和

2、求数列{}的前n项和．

3、求

注：一般地 时可用此法，常见等式：

⑴

⑵

⑶  ；

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数列求和

一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：            =              

（2）等比数列的求和公式          

例1.求和

（1）1+2+3+…+n

（2）

二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和

（1）；

（2），求；

（3），求

三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）    (2)  

   (3)   （4）

例3. （1）已知数列，求前.

（2）已知数列，求前.

（3）求数列的前n项和.

四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。

例4. （1），求。

（3）求数列的前.

五、课后练习

1、（2012惠州一模）已知数列的前项和满足，等差数列满足，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?

2、（2012广州一模）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：．

3、（2012惠州三模）已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.

(1)求证：数列是等比数列；

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一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：            =              

（2）等比数列的求和公式          

例1.求和

（1）1+2+3+…+n

（2）

二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和

（1）；

（2），求；

（3），求

三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）   (2)  

   (3)   （4）

例3. （1）已知数列，求前.

（2）已知数列，求前.

（3）求数列的前n项和.

四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。

例4. （1），求。

（3）求数列的前.

五、课后练习

1、（2012惠州一模）已知数列的前项和满足，等差数列满足，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?

2、（2012广州一模）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：．

3、（2012惠州三模）已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.

(1)求证：数列是等比数列；

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