求函数极限的方法和技巧

作者:      黄文羊

摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。

关键词：函数极限

引言

在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。

主要内容

一、求函数极限的方法

1、运用极限的定义

例: 用极限定义证明:

证: 由

     取  则当 时,就有

   

由函数极限定义有:

                    

2、利用极限的四则运算性质

若

(I) 

(II)

(III)若 B≠0   则：

   

（IV）    （c为常数）

上述性质对于

例：求

解:    =

3、约去零因式（此法适用于）

例:   求

解:原式=

           = 

==

=

4、通分法（适用于型）

例:   求

                       

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求函数极限的方法

摘 要：本文主要分两个部分，首先归纳和总结出函数极限的定义及其相关的性质；其次从不同角度概括出求函数极限的若干主要方法，并列举出具有代表性的例题．

关键词：函数极限；洛比达法则；重要极限；泰勒公式

Several Methods Of Solving the Limit of Function

Abstract: This article has two parts, first we generalized and summaried the definitions of limit of function and the properties which have relation to it, then we summaried some solutions in order to solve the problems of limit of function in many different filelds. At the same time, we exampled many example praxis which were representative.

Key words: Limit of function; L’Hospital principle; Important limit of function; Taylor’s formula

前言

函数极限理论是数学分析中最基本、最重要的内容之一．因此掌握函数极限的理论和求函数极限的方法对学习数学分析及数学专业相关课程来说是相当关键的．求函数极限的方法很多，而且非常灵活，因此研究与总结求函数极限的方法尤为重要．本文针对各种形式的函数极限整理和归纳了具有代表性的各种求解方法，幷辅以典型的例题．

1. 预备知识

1.1 函数极限的定义

定义1 设f为定义在?a,???上的函数，A为定数．若对任给的??0，存在正整数M??a?，使得当x?M时有f?x??A??，则称函数f当x趋于??时以A为极限．记作：limf?x??A或f?x??A?x????． x???

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目    录

引   言·· 1

一、基本概念与基本理论·· 2

(一)函数极限·· 2

(二)重要极限·· 9

(三)函数的上极限与下极限·· 10

(四)Stolz定理的推广定理·· 11

二、习题类型与其解题方法归纳·· 11

(一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。·· 12

(二)根据定义与极限性质证题的方法·· 14

(三)求函数极限方法·· 15

(四)判断函数极限存在与不存在的方法·· 20

参考文献：·· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。

关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods Summary

（Department of math  bohai university  liaoning  jinzhou 121000）

Xue Changtao

Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other. Function emerged for the need of describing this relation. The thory of function limit plays a key role in function theory. There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing. It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis. This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.

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论文题目：————————

学院：—————————— 专业班级：—————————— 姓名：—————————— 学号：——————

常用求极限方法的探究与总结

摘要： 求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，

解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。

关键词：极限 夹逼定理 等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理 正文：

一.用极限定义证明某一极限的正确性

例1

证明极限：lim??→∞解：?ε>0,由

sin????

1

sin????

?0 ≤ ?? ε,

1

1

sin????

可得|x|>?? , 因此取X=?? ,则当|x|>X时，有 ε?X定义，极限为0

?0 <ε ,由

二．利用四则运算法则

极限的四则运算法则是求极限的基础

例2

求极限：lim??→1??2+??+1解：=lim

lim??→1 2??+1 2lim??→1??+1

=1 ??→1 ??+??+1 lim??→1??+lim??→1??+1

2??+1

三．利用夹逼定理求极限

例3 求极限：lim??→∞

解：因为 ≤ ≤ 即3≤ ≤3?

因为lim??→∞3=3 , lim??→∞3? ??

??

??

??

??

??

??

由夹逼定理可知 极限为3

此方法适合于求递推数列极限

例3

设??1=a>0, ????+1=2 ????+?? 且（n=1,2….） 证明lim??→∞????存

??

1??

在并求出极限

解：????+1=2 ????+?? ≥ ???????=

??

??

1??1??????2+??1????2+????2????+1= ????+=≤?=????

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学号  2010212136           

学年论  文

（20##届本科）

题    目：    求函数极限的方法和技巧               

系（部）院：   数学与统计学院                                       

专    业：    数学与应用数学                  

作者姓名：      郭小虎                           

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函数极限的计算方法

摘  要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words：Function Limit；Computing method；L’Hospital rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1.预备知识

1.1函数极限的定义

设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

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函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法

1、运用极限的定义

例: 用极限定义证明:

证: 由

     取  则当 时,就有

   

由函数极限定义有:

                    

2、利用极限的四则运算性质

若

(I) 

(II)

(III)若 B≠0   则：

   

（IV）    （c为常数）

上述性质对于

例：求

解:    =

3、约去零因式（此法适用于）

例:   求

解:原式=

           = 

==

=

4、通分法（适用于型）

例:   求

                      

解:   原式=

=

              =       

…… …… 余下全文