抛物线的标准方程、图象及几何性质：

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；

2.抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

题型1：抛物线

例1．（1）)焦点到准线的距离是2；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程

【解析】（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；

方程是x=8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。

题型2：抛物线的性质

例2．（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（    ）

A．               B．     C．            D．

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解析几何知识点   

一、基本内容

（一）直线的方程 

1、 直线的方程 

确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围．

2、两条直线的位置关系

两条直线的夹角，当两直线的斜率k₁，k₂都存在且k₁·k₂≠

外注意到角公式与夹角公式的区别．

(2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断．

（二）圆的方程 

(1)圆的方程

1、  掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化．

2、   圆的标准方程为(x－a)²+(y－b)²＝r²；一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,圆心坐标，半径为。

3、        在圆(x－a)²+(y－b)²＝r²，若满足a²+b² = r²条件时，能使圆过原点；满足a=0，r＞0条件时，能使圆心在y轴上；满足时，能使圆与x轴相切；满足条件时，能使圆与x－y＝0相切；满足|a|=|b|=r条件时，圆与两坐标轴相切．

4、        若圆以A(x₁，y₁)B(x₂，y₂)为直径，则利用圆周上任一点P(x，y)， 求出圆方程(x－x₁)(x－x₂)+(y－y₁)(y－y ₂)＝0

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基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.

④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.

1直线方程的五种形式

点斜式：，  (斜率存在)

斜截式：    (斜率存在)

两点式：，(不垂直坐标轴)

截距式：    (不垂直坐标轴,不过原点)

一般式：

2.直线与直线的位置关系：

（1）有斜率的两直线l₁：y=k₁x+b₁；l₂：y=k₂x+b_2； 有：①l₁∥l₂k₁=k₂且b₁≠b₂；②l₁⊥l₂k₁·k₂=-1；

    ③l₁与l₂相交 k₁≠k₂           ④l₁与l₂重合k₁=k₂ 且b₁=b₂。

（2）一般式的直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0   有：①l₁∥l₂A₁B₂-A₂B₁=0；且B₁C₂-B₂C₁≠0     

 ②l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂=0     ③l₁与l₂相交 A₁B₂-A₂B₁≠0   ④l₁与l₂重合 A₁B₂-A₂B₁=0且B₁C₂-B₂C₁=0。

3.点与直线的位置关系：

点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：。

平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0之间的距离为

两点间距离公式：

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抛物线的标准方程、图象及几何性质：

关于抛物线知识点的补充：

1、定义：

2、几个概念：

 ①  p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数； 

②  焦点的非零坐标是一次项系数的；  

③  方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。

④  通径：2p 

3、如：是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：

（1）；  

（2）；

（3）；

（4）设交抛物线于，则平分；

（5）设，则，；

（6）；  

（7）三点在一条直线上

（8）过作，交轴于，求证：，；

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意：与（）表示双曲线的一支。  表示两条射线；没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

①焦点在x轴上的方程：（a>0，b>0）；   ②焦点在y轴上的方程： （a>0，b>0）；

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx²-ny²=1(m·n<0)； 

④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

3、双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

4、等轴双曲线：  为，其离心率为

5、共轭双曲线：

6、几个概念：

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解析几何知识点总结

 





 

 

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直线与圆

1．直线方程：⑴点斜式： 

⑵斜截式： ；

⑶截距式： ；

⑷两点式： 

⑸一般式：，（A，B不全为0）。

2．几个公式：

⑴设A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)、C（x₃,y₃）

⊿ABC的重心G：（）；

⑵点P（x_0,y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：

；

⑶两条平行线Ax+By+C₁=0与 Ax+By+C₂=0

的距离是；

3．圆的方程：

⑴标准方程：① 

② 。

⑵一般方程：  （

注：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D²+E²－4AF>0；

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；

⑵几何法；

⑶圆系法。

8．圆系：⑴；

注：当时表示两圆交线。

⑵ 。

9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）

①点在圆上；

②点在圆内；

③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）

①相切；

②相交；

③相离。

⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①相离；

②外切；

③相交；

④内切；

⑤内含。

10．与圆有关的结论：

⑴过圆x²+y²=r²上的点M(x₀,y₀)的切线方程为：x₀x+y₀y=r²；

过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上的点M(x₀,y₀)的切线方程为：(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r²；

⑵以A(x₁，y₂)、B(x₂,y₂)为直径的圆的方程：(x－x₁)(x－x₂)+(y－y₁)(y－y₂)=0。

圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：；

⑵双曲线：；⑶抛物线：略

2．结论：

1.弦长公式：

；

注：（Ⅰ）焦点弦长：抛物线：＝x₁+x₂+p；

（Ⅱ）通径（最短弦）：

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高中数学解析几何知识点大总结

            贵州-毕节-张家磊

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

       

（1）.倾斜角为的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过和两点的直线的斜率为，

  则当时，；当时，；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x₀,y₀）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y₀=k(x-x₀)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；

2.斜截式：若已知直线在轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过和两点，且（则直线的方程：；

注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；

注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

      2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a

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