平行判定总结
一、线线平行的判定
1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．
4.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
5.垂直于同一平面的两条直线平行.
二、线面平行的判定
1.定义：直线与平面无公共点.
2.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线
和这个平面平行．
三、面面平行的判定
1.定义：两个平面没有公共点.
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面
互相平行．
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.
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立体几何定理总结
一、三类关系
1、线线关系：
不垂直
异面
垂直（异面直线a?b） 直线与直线 不垂直 相交
共面 垂直（a?b）
平行（a//b）
2、线面关系：
直线与平面平行
直线与平面直线与平面相交
直线在平面内
3、面面关系：
二、平行 定义：在同一个平面内没有公共点
1
、直线与直线三角形中位线定理
面面平行
定义：直线与平面没有公共点
2、直线与平面判定定理：
性质定理：
定义：两平面没有公共点
a????b???3、平面与平面判定定理：a?b?A???????
?a?????b????
??????性质定理：????a??a??b
????b??
三、垂直
相交垂直? 三线合一定理
菱形
1、直线与直线 正方形
异面垂直线面垂直?线面垂直
定义：一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
2、直线与平面判定定理：
定义：两平面成直二面角
3、平面与平面判定定理：
性质定理：
四、空间角度
1、异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：oo
2、线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0o； ②线面垂直：线面所成的角为90o；
③斜线与平面所成的角：就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 线面所成的角范围0o???90o
3、二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围：0o???180o；
五、空间距离
1、点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
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（二）异面直线所成角
1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a1和b1，我们把a1和b1所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2.范围：(0°，90°】
(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)
（三）线面角
1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】
（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）
（三）二面角
1.定义：
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
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（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q
3.范围为【0°，180°】
（五）六种距离
1.点到点的距离：两点之间的线段PQ的长。
2.点到线的距离：过P点作PP1?l，交l于P1，线段PP1的长。
3.点到面的距离：过P点作PP1??，交?于P1，线段PP1的长。 两条平行线的距离
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立体几何必背定理
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
2、直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
3、平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
4、平面与平面平行的性质定理：
①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.
②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
5、直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.
6、直线与平面垂直的性质定理：
①如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.
②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
7、平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
8、平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
立体几何必背定理
1、直线与平面平行的判定定理：
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1. 直线与平面平行、直线与平面垂直
(1)直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”）
(2)直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”）
(3)直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
2. 平面平行与平面垂直.
(1)平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”）
(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行?线线平行”）
(3)两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”）
方法总结
1.直线和平面相互平行
证明方法：(1)证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；
(2)证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；
(3)证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。
2．直线和平面垂直
证明方法：(1)证明直线和平面内两条相交直线都垂直，
(2)证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；
(3)证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
3.平面和平面相互垂直
证明方法：(1)证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；
(2)证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面.
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一．直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
2. 线面相交
?//??
??l//? l???
3. 面面平行：
l
方法一：用线线平行实现。 方法二：用线面平行实现
符号表示：
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二．平行关系： 1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。
l//?
??//??
l?????l//m????l?
??l//m ????m??
????m??方法三：用线面垂直实现。 若l??,m??，则l//m。 2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
ll//m?
m???
??l//? l????
方法二：用面面平行实现。
l//l'
?
m//m'?
?l,m??且相交???//??
l',m'??且相交??三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
l?AC?
l?AB??
AC?AB?A?
?l???
AC,AB???? 2. 面面垂直：
l//??。m//??
???//?
l,m??且相交??
方法二：用面面垂直实现。
????????m???l?? l?m,l????
方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。
l???????? l???
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l?????l?m m???
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO????l?OA??l?PA l????
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