积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

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第五章  定积分

创新生技102班  张梦菲

2010015066

一、           主要内容

                                                                 

 

Ⅰ. 定积分概念：

1. 定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点

.把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分.

记为

当上述极限存在时，称在上可积.

1. 若在上连续，则在上可积。
2. 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.

Ⅱ. 定积分的几何意义

   定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取正，轴下方的面积取负)

Ⅲ. 定积分的性质

1.       补充规定：(1)当时，

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                                积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

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第五章  定积分  总结

一、定积分的概念与结论

1．定积分的概念

（1）定积分的定义：                                                       ．

（2）定积分的基本思想：                                                  ．

（3）两个规定：①                       ；②                              

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                                 积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

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第四章  一元函数的积分及其应用            

第一节  不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数

定义2.函数的全体原函数叫做的不定积分，，记为:

其中   叫做被积函数  叫做被积表达式   叫做积分常数

“”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

        .

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 

        

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

        .

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

      

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设可导，并且 则有

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．

定理2.设是可微函数且，若具有原函数，则

该方法叫第二换元积分法       

 1)  v 容易求得 ;

解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为后者为

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1.二重积分   形式：    f(x,y)为面密度，dxdy为面积元素。           

解法：①直角坐标  首先是化为X型或Y型区域，如化为X型的则可写成=

②极坐标（使用范围：D为圆或圆的一部分，f(x,y)中含有+项）极坐标下二重积分可化为：

=

2.三重积分   形式：    f(x,y,z)表示点（x,y,z）处的密度，dv表示体积元素

解法：①直角坐标   如往xoy面投影，Dxy为X型区域，y的范围由平行于y轴的直线穿过Dxy，穿入的是下限，穿出的上限；z的范围沿平行于z轴的直线穿过立体，穿入的下限，穿出的上限，则有：=；

②柱面坐标（范围：投影区域为圆或圆的一部分，f（x，y，z）中含有+项）   直角坐标与极坐标的关系：x= y=  z=z。    ==

③ 球面坐标  （范围：立体为球体或球体的一部分）

3.重积分的应用：① 求曲面面积：A= 

可以类似的推出区域为Dxy,Dyz时对应的公式。

② 求质心：      类似的可推广到空间直角坐标系。

③求转动惯量： =     推广到空间坐标系有：      

4.曲线积分：①对弧长的曲线积分  形式：  当L为闭曲线是又记为：  

算法：关键是化为参数方程，注意积分的上限一定大于积分下限！  直角坐标系下的公式：（）极坐标系下的公式：  （）

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