第21章 一元二次方程

1、计算

ax²+bx+c=0（a≠0）

其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项

2、应用题

第22章 二次函数

1、二次函数的解析式三种形式。

一般式  y=ax² +bx+c(a≠0)

顶点式   

       

交点式 

2、二次函数图像与性质

 

        对称轴：

     顶点坐标：

与y轴交点坐标（0，c）

3、增减性：

当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

4、二次函数的对称性

当横坐标为x_1, x₂  其对应的纵坐标相等那么对称轴

5、二次函数与一元二次方程的关系

 抛物线y=ax² +bx+c与x轴交点的横坐标x_1, x₂ 是一元二次方程ax² +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax² +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax² +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

第23章 旋转（以题带点）

旋转、平移、轴对称、中心对称（关于原点对称的点的坐标）、中心对称图形

中心对称的性质：

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人教版九年级数学上册知识点总结

第二十一章  二次根式

21.1 二次根式

知识点一二次根式的概念

(1)     一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数a的算术平方根。其中“”叫做二次根号。

(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：

①  二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。如是二次根式，虽然=2，但2不是二次根式。

②  被开方数a必须是非负数，即a≥0.如就不是二次根式，但式子²是二次根式。

③  “”的根指数为2，即“”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二 二次根式的性质

（1）（a≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即≥（a≥0），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

（2）（）² = a （a≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

（3）² = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

知识点三  代数式

定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除

知识点一 二次根式的乘法法则

一般地，对二次根式的乘法规定：·=(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

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初三知识整理

    

全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的"数与代数""空间与图形""统计与概率""实践与综合应用"四个领域的内容

在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合

使它们形成一个有机的整体

    

九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容

学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域

包含以下章节：

　　第21章 二次根式                          第22章 一元二次方程                                          

　　第23章 旋转                              第24章 圆                                                    

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人教版九年级下册数学课本知识点归纳

第二十六章 二次函数

一、二次函数

1、一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。是自变量。其中，a是二次项系数；b一次项系数；c是常数项。

2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤。

3、二次函数的图象：是常数，，的图像是抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。

4、求抛物线顶点(最大或最小值)和对称轴的方法

（1）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。

（2）公式：，∴顶点是，对称轴是直线。

5、二次函数的图象的特点：

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴；

（2）抛物线的顶点是(h,k)，对称轴是x=h；

（3）抛物线的顶点是()，对称轴是；

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。｜a｜越大，开口越小。｜a｜越小，开口越大。

（4）几种特殊的二次函数的图像特征如下表：

二、二次函数与二元一次方程的关系

第二十七章 相似

一、图形的相似

1．图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽）

性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。

二、相似三角形

1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

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九年级上册知识点

第一单元 二次根式

1、二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

（1）

                         

（2）

                        

（3）

（4）

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

第二单元 一元二次方程

一、一元二次方程  

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

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人教版九年级数学下册知识点总结

第二十六章　二次函数. 1

26．1  二次函数及其图像. 1

26．2  用函数观点看一元二次方程. 6

26．3  实际问题与二次函数. 6

第二十七章　相似. 6

27．1  图形的相似. 6

27．2  相似三角形. 7

27．3  位似. 7

第二十八章　锐角三角函数. 8

28．1  锐角三角函数. 8

28．2  解直角三角形. 10

第二十九章　投影与视图. 12

29．1　投影. 12

29．2　三视图. 12

第二十六章　二次函数

26．1 二次函数及其图像

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式

　　y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；

顶点式

　　y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

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人教版九年级下册数学课本知识点总结

            第二十六章   反比例函数

一、反比例函数的概念
　　1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
　　2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
　　3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．

二、反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质
　　1．函数解析式：（）
　　2．自变量的取值范围：
　　3．图像：
   （1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。 越小，图像的    弯曲度越大。
   （2）图像的位置和性质：

当时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
   （3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支。图像关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上。．
　　4．k的几何意义
　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

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