篇一 :20xx年圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

高三数学备课组

椭   圆

1.         点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.         PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.

7.         椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆(a>b>0)的焦半径公式:

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

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篇二 :圆锥曲线知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结

一、椭圆

1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆.

即:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:

二、双曲线

1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于

F1F2)的点的轨迹称为双曲线.即:||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质:

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线

1、定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 2、抛物线的几何性质:

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??,称为抛物线的“通径”,即???2p. 4B(x2,y2),直线AB设AB为过抛物线y2?2px(p?0)焦点的弦,A(x1,y1)、

的倾斜角为?,则

p22p

⑴x1x2?,y1y2??p2;⑵AB?; 2

4sin?

⑶以AB为直径的圆与准线相切; ⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为⑸

?

2

112??. |FA||FB|P

四、直线与圆锥曲线的位置关系

??几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系????代数角度(适用于所有直线与圆锥曲线位置关系)

1.直线与圆锥曲线?

?直线与圆锥曲线相交的弦长问题?利用一般弦长公式(容易)

??

?利用两点间距离公式(繁琐)?

2.直线与圆锥曲线的位置关系:

⑴.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。

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篇三 :圆锥曲线性质总结

椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质:

双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质:

抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质:

圆锥曲线的统一定义:

若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数,则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点,定直线为准线,为离心率。

时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时,轨迹为双曲线。

1.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断)

(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:

(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒

(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;

(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,

2、焦点三角形问题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形):常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为

(1)在椭圆中, ①,且当为短轴端点时,最大为;②,当为短轴端点时,的最大值为bc;

2对于双曲线的焦点三角形有:①;②

3.你了解下列结论吗

(1)双曲线的渐近线方程为

(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。若,焦点在x轴上,若,焦点在y轴上。

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

(4)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(5)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点

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篇四 :圆锥曲线知识点总结(绝对物超所值)

圆锥曲线的方程与性质

1.椭圆

(1)椭圆概念

平面内与两个定点的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点,则有

椭圆的标准方程为:)(焦点在x轴上)或)(焦点在y轴上)。

注:①以上方程中的大小,其中

②在两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看的分母的大小。例如椭圆)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质

①范围:由标准方程,说明椭圆位于直线所围成的矩形里;

②对称性:在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替代替方程也不变,则曲线关于原点对称。

所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;

③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令,得,则是椭圆与轴的两个交点。同理令,即是椭圆与轴的两个交点。

所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时,线段分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,且,即

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵,∴,且越接近就越接近,从而就越小,对应的椭圆越扁;反之,越接近于就越接近于,从而越接近于,这时椭圆越接近于圆。当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为

2.双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。

注意:①式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支;时为双曲线的另一支(含的一支);②当时,表示两条射线;③当时,不表示任何图形;④两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。

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篇五 :圆锥曲线知识要点及结论个人总结

《圆锥曲线》知识要点及重要结论

一、椭圆

1 定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.若,点的轨迹是线段.若,点不存在.

2 标准方程  ,两焦点为.

,两焦点为.其中.

3 几何性质 

椭圆是轴对称图形,有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心.

椭圆的顶点有四个,长轴长为,短轴长为,椭圆的焦点在长轴上.

若椭圆的标准方程为,则

若椭圆的标准方程为,则.

二、双曲线

1 定义  平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 若,点的轨迹是两条射线.若,点不存在.

2 标准方程  ,两焦点为.

,两焦点为.其中.

3 几何性质 

双曲线是轴对称图形,有两条对称轴;双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心.

双曲线的顶点有两个,实轴长为,虚轴长为,双曲线的焦点在实轴上.

若双曲线的标准方程为,则

若双曲线的标准方程为,则.

4 渐近线 

双曲线有两条渐近线.即

双曲线有两条渐近线.即

双曲线的渐进线是它的重要几何特征,每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.

与双曲线共渐进线的双曲线可表示为.

直线与双曲线有两个交点的条件,一定要“消元后的方程的二次项系数”和“”同时成立.

5 等轴双曲线:实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的标准方程为.

等轴双曲线的渐近线方程为.

6 共轭双曲线:实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.

如:的共轭双曲线为,它们的焦点到原点的距离相等,因而在以原点为圆心,为半径的圆上.且它们的渐近线都是

.

三、抛物线

1 定义 平面内与一个定点和一条定直线不在上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.

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篇六 :圆锥曲线的经典性质总结

椭圆 必背的经典结论

1.         点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.         PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.

7.         椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆ab0)的焦半径公式:

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

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篇七 :圆锥曲线总结

圆锥曲线与方程

课    小结与复习

教学目的:

1.       椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距,椭圆的几何性质,椭圆的画法;          双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距,双曲线的几何性质,双曲线的画法,等轴双曲线;抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距,抛物线的几何性质,抛物线的画法,

2.  结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 

教学重点:椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质;坐标法的应用.

教学难点:椭圆、双曲线的标准方程的推导过程;利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.

授课类型:复习课

课时安排:1课时

教    :多媒体、实物投影仪

教学过程

一、课前预习

二、复习引入:

抛物线:

三、章节知识点回顾:

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹

2.椭圆的标准方程:, ()

3.椭圆的性质:由椭圆方程()

(1)范围: ,,椭圆落在组成的矩形中.

(2)对称性:图象关于轴对称.图象关于轴对称.图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心,简称中心.轴、轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距

(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点: ,加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴.长分别为  分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

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篇八 :圆锥曲线图表总结

圆锥曲线图表总结

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