必修二立体几何知识点总结

一、判定两线平行的方法

1、  平行于同一直线的两条直线互相平行

2、  垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、  如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、  如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、  在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、 判定线面平行的方法

1、  据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、  如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个         平面平行

3、  两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、  平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、  平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3  垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、  垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、  定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

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1.判定两个平面平行的方法：

   （1）根据定义——证明两平面没有公共点；

   （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；

   （3）证明两平面同垂直于一条直线。

2.两个平面平行的主要性质：

    ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

    ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

    ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。

    ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

    ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

    ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

3.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．

空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，]，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈0，π．

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，

如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（记作q）通常有以下几种方法：

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                         立体几何初步

                                   本章知识结构与体系

立体几何体知识点：（1）空间几何体

                 （2）点、直线、面的位置关系

                 （3）空间直角坐标系

（1）空间几何体的知识点：

            

（2）点、直线、面的位置关系：

        

（3）空间直角坐标系:

           

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新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H 证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?

(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 2

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。 E BC?AC?证明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE

D

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

E是AA1的中点， 3、如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，BDE。 求证： AC1//平面

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1

B

A

D1

C

D

BDE外 又EO在平面BDE内，AC1在平面

BDE。 ∴AC1//平面

考点：线面平行的判定

?

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求证：AD?面SBC．

C

证明：∵?ACB?90° ?BC?AC

又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD

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《立体几何》重要知识、方法与题型

班级 座号 姓名

1.棱柱：（1）定义：有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（2）公式：直棱柱侧面积：S?底面周长C×高h；棱柱体积V＝底面积S×高h；圆柱体积：V??r2h；圆柱侧面积：S?2?rh（r为半径，h为高）。 例如（1）下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为 ；

2.椎体：(1) 棱锥定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥。底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，侧棱与底面边长相等

'的正三棱锥叫做正四面体。（2）公式：正棱锥的侧面积：S侧?1ch?（底面周长为c，斜高为h）；锥的2

体积＝11×底面积S×高h；圆锥体积：V??r2h；圆锥侧面积：S??rl（r为半径，h为高，l为母33

线长）。

例如（1）若正三棱锥S—ABC的侧面是直角三角形，底面边长为2，那么正三棱锥S—ABC的体积是 。

（2）已知圆锥底面圆的半径1，侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是 。（4）设三棱锥P?ABC的顶点在底面上的射影为O，①若侧棱长均相等，则O是?ABC的 ，特别地：若?ABC是直角三角形，则O是斜边的 ；若?ABC是等边三角形时，则O是?ABC的 。②若侧棱两两垂直，则O是?ABC的 ；③若侧棱与底面所成的角均相等，则O是?ABC的 ；④若各侧面与底面所成角均相等，则O是?ABC的 ；⑤若两组对棱垂直，则O是?ABC的 。

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新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C

1

2BD H D 证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?

同理，FG//BD,FG?

(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 12BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

证明：（1）BC?AC???CE?AB AE?BE?E 同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C

又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE

D

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： A1C//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//A1C 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴A1C//平面BDE。 考点：线面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90?,SA?面ABC,AD?SC,求证：AD?面SBC． 证明：∵?ACB?90° ?BC?AC

又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD

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立体几何重点题型

【考点透视】

(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

(B)版.

①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.

②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.

③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.

⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.

⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.

⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

   求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1  点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题

例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

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