必修五：不等式
知识点一：不等式关系与不等式
【习题训练】
1. 下列命题中正确命题的个数是（ ）
①若
，则
；②
，
，
，则
；
③若
，则
；④若，则
．
A．
B．
C．
D．
2.用“
”“
”号填空：如果
，那么
________
．
3．已知
，则2a+3b的取值范围是（ ）
A 
B 
C 
D 
二、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：
是指数轴上点
到原点的距离；
是指数轴上
两点间的距离
2、解含有绝对值不等式的主要方法：
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《不等式》知识点
一、不等式及其解法：
1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）
“大于取两边，小于取中间”
如：解不等式（1）
； （2）
解：（1）原不等式等价于 
， 方程
的根为
，
故解集为
.
（2）原不等式等价于
， 方程
的根为
，
，
故解集为
.
2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的
系数为都为正）穿根
（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）
如：解不等式（1）
； （2）
； （3）
解：（1）解集为
； （2）解集为
； （3）解集为
3．分式不等式：移项通分.
如：解不等式
. 解：移项后
，通分后
，化标准式为
，故解集为
4．绝对值不等式：
的解集为
； 
的解集为
二、1．重要不等式：
,当且仅当
时，等号成立
变形：
应用：
为定值时，求
的最大值.
2．基本不等式：
当且仅当时，等号成立
变形一：
应用：为定值时，求
的最小值.
变形二：
应用：为定值时，求的最大值.
注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.
三、线性规划问题
1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.
2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.
3.目标函数常见类型：
（1）求线性目标函数
的最值时，先令
，画出直线
：
，
①若
，则向上平移，
变大，向下平移，变小；②若
，则向上平移，变小，向下平移，变大
（2）“斜率型”目标函数
，表示可行域内动点
与定点
连线的斜率.
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高中数学复习系列---不等式（基础知识总结）
【不等式的基础知识总结】
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若
，则
（若
，则
），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若
，则
（若
，则
）；
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若
，则
或
；
4．若
，
，则
；若
，，则
。
训练1：
（1）对于实数
中，给出下列命题：
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
； ⑧
，则
。其中正确的命题是______
（2）已知
，
，则
的取值范围是______
（3）已知
，且
则
的取值范围是______
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
训练2：
（1）设
，比较
的大小
（2）设
，
，
，试比较
的大小
（3）比较1+
与
的大小
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
训练3：
（1）下列命题中正确的是
A、
的最小值是2 B、
的最小值是2
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第三章：不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）
②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性）
（异向可减性）
④（可积性）
⑤（同向正数可乘性）
（异向正数可除性）
⑥（平方法则）
⑦（开方法则）
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
①
,（当且仅当
时取
号）. 变形公式：
②（基本不等式） 
,（当且仅当时取到等号）.
变形公式： 
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
（当且仅当
时取到等号）.
④
（当且仅当时取到等号）.
⑤
（当且仅当时取到等号）.
⑥
（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
⑦
其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式①平均不等式：
,（当且仅当时取号）.（即调和平均
几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
②幂平均不等式：
③二维形式的三角不等式：
④二维形式的柯西不等式
当且仅当
时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
设
是两个向量，则
当且仅当
是零向量，或存在实数
，使
时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
为两组实数.
是
的任一排列，则
（反序和乱序和顺序和）
当且仅当
或
时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数
,对于定义域中任意两点
有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
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基本不等式
●考试目标 主词填空
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．设a,b∈R+,则称
为a,b的算术平均值；称
为a,b的几何平均值.
3．平均值不等式的原形与变形
① ≥ (当且仅当a=b时取等号)为原形.
②变形有:a+b≥
；ab≤
,当且仅当a=b时取等号.
4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.
5．最值定理
如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值
;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值
.
●题型示例 点津归纳
【例1】 设x∈［2,5),求下列函数的最值.
(1)y=(3+2x)·(6-x);
(2)y=(3+2x)·(4-x);
(3)y=4x-9·2x+1+80;
(4)y=
.
【解前点津】 (1)因3+2x=12-2x时,x=
∈［2,5］,故可直接应用平均值不等式;
(2)因3+2x=8-2x时,x=
但
［2,5］故不能使用平均值不等式;
(3)可分解为y=(2x-8)·(2x-10);
(4)因方程
无根,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.
【规范解答】 (1)y=(3+2x)·(6-x)=
·(3+2x)·(12-2x)
≤×
［(3+2x)+(12-2x)］2=
,当且仅当3+2x=12-2x,即x=时,ymax= ,
又∵x=2时,y=28;x=5时,y=13<28,故函数只有最大值 ,而没有最小值.
(2)因y=(3+2x)·(4-x)=-2x2+5x+12,其对称轴为x=,故函数在［2,5)上单调减;当x=2时,ymax=(3+4)·(4-2)=14,函数没有最小值.
…… …… 余下全文
高中数学必修5 第三章 不等式复习
一、不等式的主要性质：
(1)对称性： 
(2)传递性：
(3)加法法则：
； 
(4)乘法法则：
； 
(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
二、一元二次不等式
和
及其解法
１.一元二次不等式先化标准形式（
化正）２.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：“大鱼”吃两边，“小鱼”吃中间
三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b是正数，那么
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：（a、b为正数），即
（当a = b时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：
是指数轴上点
到原点的距离；
是指数轴上
两点间的距离
代数意义：
2、
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高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：
（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）
（对称性）
（2）
（传递性）
（3）
（加法单调性）
（4）
（同向不等式相加）
（5）
（异向不等式相减）
（6）
（7）
（乘法单调性）
（8）
（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）
（平方法则）
（12）
（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）
（2）
（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 
（当仅当a=b时取等号）
极值定理：若
则：
1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
…… …… 余下全文
1．不等式的解法
（1）同解不等式（(1)
与
同解；
（2）
与
同解，
与
同解；
（3）
与
同解）；
2．一元一次不等式
情况分别解之。
3．一元二次不等式
或
分
及
情况分别解之，还要注意
的三种情况，即
或
或
，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式
分式不等式的等价变形：
>0
f(x)·g(x)>0，≥0
。
5．简单的绝对值不等式
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|<ax2<a2－a<x<a(a>0)， |x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。
6．指数不等式
；
；
7．对数不等式
（1）当
时，
；（2）当
时，
。
8．线性规划
（1）平面区域
一般地，二元一次不等式
在平面直角坐标系中表示
某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式
所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标
代入
，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点
，从
的正负即可判断
表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当
时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念
引例：设
，式中变量
满足条件
，求
的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点
不在公共区域内，当
时，
，即点在直线
：
上，作一组平行于的直线
：
，
，可知：当在的右上方时，直线上的点满足
，即
，而且，直线往右平移时，
随之增大。
由图象可知，当直线经过点
时，对应的最大，
当直线经过点
时，对应的最小，所以，
，
。
…… …… 余下全文
