南京航空航天大学

FINITE ELEMENT METHOD

IN METHCHANICAL ENGINEERING

——《弹性力学》读书报告

二〇##年五月

读书报告之《弹性力学》

摘  要：弹性力学是固体力学的一个分支学科，主要研究可变形固体在外力、温度变化和边界约束变动等作用下的弹性变形与应力状态。弹性力学为解决工程结构的强度、刚度和稳定性做准备，但是并不直接做强度和刚度分析。

关键词：弹性力学；微分方程；几何方程；物理方程

1  弹性力学的作用

弹性力学（Elastic Theory）作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。

对于工科力学专业来说，弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进其计算方法。弹性力学主要研究非杆状的结构，如板、壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。此外，对于杆状构件作进一步的、较精确的分析，也须用到弹性力学。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，所以除少数的典型问题外，对大多数工程实际问题，往往都无法用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，有些只能通过数值计算方法来求得其近似解。

由于弹性力学的基本方程——偏微分方程边值问题求解存在困难，经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。

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一、弹性力学的发展及基本概念、假设

弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、迦辽金等人的不断努力。使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学中经常用到的基本概念有外力、应变、形变和位移。作用于物体的外力可以分为体积力和表面力，两者也分别称为体力和面力。所谓体力，是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。所谓面力，是分布在物体表面上的力，例如流体压力和接触力。对于应力，设作用于ΔA上的内力为ΔF，则内力的平均集度，即平均应力，为ΔF/ΔA。现在，命ΔA无限减小二趋于P点，假定内力连续分布则ΔF/ΔA将趋于极限p，这个极限矢量p就是物体在截面上的在p点的应力。如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方向是为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个洁面霜的应力分量就以沿坐标轴负方向是为正，沿坐标轴正方向时为正。所谓形变，就是形状的改变。物体的形状总可以用它各部分的长度和角度来表示，因此，物体的形变总可以归结为长度的改变和角度的改变。所谓位移，就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用它在x,y,z三个轴上的投影u,v,w来表示，以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方向时为负。

下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：

1.  假定物体是连续的，就是是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填充，不留下任何空隙。

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《弹性力学》读书报告

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域.

弹性力学问题的求解主要是基于以下几个理论基础。

1.Newton定律

弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。

2.连续性假设

所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。

3.广义Hooke定律

所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。

Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。 弹性力学在不同的常用坐标系下有不同的基本方程。

1.直角坐标x，y，z

几何方程为

?u?v?w???,??,??yz?x?x?y?z?

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研究生课程考试答题本

考试科目：高等弹性力学      

授课教师：  李 之 达         

年级专业：  09级***          

考生姓名：  ***               

考试时间： 20## 年 * 月 * 日  

读书报告内容要求：

可以就弹塑性力学某一方面的问题提出自己的建议及解答，或者谈谈学习完该课程后的心得体会，字数不低于5000字。

字体及字号要求：

封面要求如上

正文标题统一采用黑体四号

正文内容统一采用宋体小四号

参考文献采用宋体五号

上交时间要求：

老师给大家的时间比较充裕，暂时不急于上交，目的是要大家对弹塑性力学书本内容看懂，弄懂，上交时我会提前三天通知，待交上来就考试。

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作业1：

《弹性力学》读书报告

一、弹性力学的作用

    弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

二、弹性力学在常用坐标系下的基本方程

2.1平衡微分方程

    物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图1所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。在微六面体x=0面上，应力是σ_xτ_xyτ_xz；在x=dx面上的应力，

图1

根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得

同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy，z=dz面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程

考虑微单元体沿x方向的平衡，可得

整理上式并除以微单元体的体积dxdydz，得

    （1）

同理，建立y、z方向的平衡条件，可得

      （2）

这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X，Y，Z是单位体积里的体积力沿x，y，z方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C平衡于x方向的轴取力矩平衡得

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工程中的弹塑性力学读书报告

作业：基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析

姓名:郭政

学号：S20156116

  

基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析

摘要：徐芝纶所著《弹性力学》给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解答，本文利用有限元软件ANSYS数值实验，实现应力场、位移场的可视化。同时定义了应力集中的特征参数来研究应力集中系数与孔径尺度(宽径比、长宽比)、材料所处状态的关系，最后提出一种可应用于工程中减小应力集中的方法。

关键词：圆孔应力集中 特征参数 应力集中系数 孔径尺度 材料状态

1引言

 孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸）被定义为小孔口问题。由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力，这种现象称为孔口应力集中。一般来说，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，就是说应力随着与孔的距离增大而越快的趋进于无孔时的应力。应力集中的程度，首先与孔的形状有关，一般来说，圆孔孔边的集中程度最低。另外集中系数还与相对孔径尺度有关。基于ansys平台，通过数值试验的方法，研究不同孔径时的孔边应力集中问题。

2 力学模型

     参考《弹性力学》和书籍^[3]我们建立如下模型，如图1所示。

平面带孔平板，孔位于板正中，假设板为各向同性完全弹性，板两端受均布拉力荷载，长为200mm，宽为100mm，厚为0.01mm，泊松比为0.3，。

      现在我们定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的特征参数，，定义应力集中系数 ，其中L为板长，B为板宽，R为孔半径，为孔边最大应力，q为均布荷载，q₀为平均应力。

图1 力学模型

3 ANSYS求解

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一、弹塑性力学发展史

(一)弹性力学的发展

近代弹性力学，可认为始于柯西(Cauchy，A． L．)在1882年引进应变与应力的概念，建立了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关系。它的发展进程对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，特别是对促进造船、航空、建筑、水利、机械制造等工业技术的发展起了相当重要的作用。柯西的工作是近代弹性力学以及近代连续介质力学的一个起点。之后，世界各国的一大批学者相继做出了重要贡献，使得弹性力学迅速发展起来，并根据实际的需要形成了一些专门分支学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性系统的稳定理论，断裂力学，损伤力学，等等。

弹性力学为社会发展、人类的文明进步起了至关重要的作用。交通业、造船、铁路建筑、机械制造、航空航天事业、水利工程、房屋建筑、军事工程等的发展，都离不了力学工作者的贡献。从18世纪开始．涌现出了一大批力学家，像柯西、欧拉(Euler L.)、圣维南(Saint-Venant)、纳维(Navier)、克希霍夫(Kirchoff，G．R．)、拉格朗日 (Lagran8e，J． L．)、乐甫(Love，A．E．H．)、铁木辛柯(Timoshenkn，S．P．)及我国的钱学森、钱伟长、徐芝纶、胡海昌等。他们都对弹性力学的发展做出了贡献，他们的优秀著作培养了一代又一代的工程师和科学家。

弹性力学虽是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给弹性力学提出了越来越多的理论问题和工程应用问题，弹性力学在许多重要领域展现出它的重要性。本书将介绍其基本原理和实用的解题方法。

二、弹塑性力学模型

在弹塑性力学的研究中，如同在所有科学研究中一样，都要对研究对象进行模拟，建立相应的力学模型(科学模型)。“模型”是“原型”的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科学性--尽可能地近似表示原型；二是实用性--能方便地应用。显然，一种科学(力学)模型的建立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，力学模型大致有三个层次：材料构造模型、材料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属基本的，它们属于科学假设范畴。因此，往往以“假设”的形式比现。“模型”有时还与一种理论相对应；因而在有些情况下，‘模型”、“假设”和“理论”可以是等义的。

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