重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛

暨20##年全国大学生数学建模选拔赛

论文题目：　　　养老金计划　　　　

参赛队员信息

20##年 6 月 5 日

养老金计划的数学模型

摘要

   中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预测，到20##年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”.

本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P.

然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元；从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元；从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元.

最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析.

关键词：老龄化  养老金 年金 Matlab

一、问题重述

养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅.参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：

20岁~29岁每月存入X₁元，30岁~39岁每月存入X₂元，40岁~49岁每月存入X₃元，50岁~59岁每月存入X₄元.参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金.

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养老金计划

摘要

保险与人们生活密切相关，在年老失去工作能力后可以按期领取补偿金，为人们正常生活奠定了经济基础。本文以投保人月退休金为研究对象，重点考虑开始参加投保的年龄，金融危机，家庭经济状况，年龄高低对投保人月退休金的影响，通过从相关文献和资源网上搜集相应的数据并加以整理和分析，分别建立了主要影响因素与月退休金之间的差分方程模型和递推模型，求解并分析了其合理性。

本文首先分析了对投保人月退休金可能产生影响的多个因素，然后通过相关文献和已知数据，分别利用差分方程法和递推方法分析开始参加投保的年龄对投保人退休金的影响程度，对这一主要因素，本文建立了它们与月退休金之间的差分方程模型和递推模型，用两种思路建立模型并求解：

思路一：按年利率来计算月退休金，建立差微分方程，运用MATLAB进行求解，问题一二三的月退休金分别为： 元，元，元。思路二：按月利率来计算月退休金，建立递推关系，运用MATLAB进行求解，问题一二三的月退休金分别为： 元，元，元 。

通过以上分析，分别以年和月为计算单位，建立差微分方程模型和递推模型，两种方法得到的结果虽然有一定的出入，但是分析它们的绝对误差值大致是一条直线，说明误差比较稳定。说明两种模型是合理的。从另一方面说明参加投保时间越长，所得月退休金越多。从而验证了两种模型的可行性和合理性。

本文首先分析了影响投保人月退休金的多个因素，然后分别利用差分方程模型和递推模型，应用MATLAB软件分别用月利率和年利率产生利息计算月退休金。这两种建模方法值得推广。本文建立的差分方程适应于多数离散动态系统数学模型如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型等。

一 问题重述

养老保险属于一种自愿的投资计划，参加者在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，也是老年人生活的基本保障。也引起了很多人的关注。

    本文围绕投保人的月退休金，在给定年利率和退休年龄的前提下，用两种计算思想求得月退休金，重点解决以下问题：

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数学建模

A题 养老金计划

养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅。参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入X1元，30岁~39岁每月存

入X2元，40岁~49岁每月存入X3元，50岁~59岁每月存入X4元。参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年。试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄的计划参加者的月退休金。

1、从20岁开始参加养老金计划，假设X1?X2?X3?X4?200元；

?2002、从35岁开始参加养老金计划，假设X2

X4?1000元； 元， X3?500元，

3、从48岁开始参加养老金计划，假设X3?1000元，X4?2000元。

论文题目： 养老金计划

姓名1：**（写作） 专业：数学与应用数学 姓名1： 专业： 姓名1：**（建模） 专业： 信息与计算科学

20xx年8月14日

摘要：随着人口老龄化的到来，世界各国都在不断努力寻求解决老龄化社会问题的途径，已形成了各具特色的养老保险制度。但是我国养老金制度还存在层次单一，覆盖面狭窄和管理不协调的问题，因此本文就养老金计划问题进行讨论，旨在分析不同年龄阶段、投资不同金额的投保人在60岁后的20年里每月初所能领取养老金p。首先依据题设，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，可认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。其次，采用迭代方法建立不同情况下的四种数学模型，利用MATLAB编写对应模型的程序，并用二分法求解出符合问题条件下的P值。最终，运用所建立的数学模型最终求解出P1=10397.3511元，P2=5264.6136元，P3=4383.79385元。从结果可以看出，越早参加养老金计划，在60岁后的20年里每月初也能领取相当多的养老金。

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什么是401(k)养老金计划？

19xx年，美国国会决定鼓励美国国民增加养老储蓄。国会议员们认为，如果能够提供一种养老金储蓄途径，同时降低州和联邦税，人们就会踊跃参加这一计划。《税收改革法案》正是在这样的背景下得以通过的。法案的部分条款允许为雇员建立一种延迟纳税的储蓄计划。该计划因《国内税收法》中的401条第（k）项而得名。时任福利顾问的特德?本纳（Ted Benna）起草了该计划。美国国税局（IRS），在19xx年正式接受了他的计划，并发布了建议的规章。19xx年，美国纳税人首次采用了这一新计划。历时近10年后，最后的规章终于在19xx年出台。

401（k）计划是一系列退休计划的组成部分，该系列计划叫做固定分担额退休金计划。其它固定分担额退休金计划包括：利润分享计划、个人退休金账户（IRA）、小型企业雇员配款（Simple IRA）、简易雇员退休金（SEP）和货币购买计划。这些计划之所以称为“固定分担额退休金计划”，是因为分担额是由雇员（又称参与者）或雇主规定的。

401（k）计划与其他养老金计划的不同之处在于：当您参加401（k）计划时，您可以告知雇主您希望在账户中存入多少钱。通常每月最高可存入工资的15%，但雇主有权限制该金额。如果金额不如您的预期，您应当尽力争取一个较高的限额。美国国税局设定的全年总缴款限额为11,000美元（20xx年）。

这笔缴款是在计算税款前直接从您的工资中扣除的，更重要的是，您甚至无需亲自经手。这使得401（k）成为最方便的养老金储蓄计划之一。

如果运气好，雇主会根据您的缴款数额，提供一定比例的“搭配”缴款。雇主提供的搭配缴款，即您可以“白拿的钱”，是用来激励员工参加该计划的主要动力。雇主之所以鼓励您参加该计划完全是由于法规的制约，这一点将在稍后讨论。

账户中的资金交给第三方进行管理，管理人员负责帮您开设账户，投资共同基金、债券、货币市场等，但具体投资组合方式是由您自己决定的。管理人员通常会提供一份投资工具清单，供您从中挑选，同时会针对您愿意承担的风险水平提供一些指导。这部分内容也将在稍后讨论。

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401(k)养老金计划

有同学还没有搞清楚美国401K的威力，那就普及一篇吧。

19xx年，美国国会决定鼓励美国国民增加养老储蓄。国会议员们认为，如果能够提供一种养老金储蓄途径，同时降低州和联邦税，人们就会踊跃参加这一计划。《税收改革法案》正是在这样的背景下得以通过的。法案的部分条款允许为雇员建立一种延迟纳税的储蓄计划。该计划因《国内税收法》中的401条第（k）项而得名。时任福利顾问的特德?本纳（Ted Benna）起草了该计划。美国国税局（IRS），在19xx年正式接受了他的计划，并发布了建议的规章。19xx年，美国纳税人首次采用了这一新计划。历时近10年后，最后的规章终于在19xx年出台。

401（k）计划是一系列退休计划的组成部分，该系列计划叫做固定分担额退休金计划。其它固定分担额退休金计划包括：利润分享计划、个人退休金账户（IRA）、小型企业雇员配款（Simple IRA）、简易雇员退休金（SEP）和货币购买计划。这些计划之所以称为“固定分担额退休金计划”，是因为分担额是由雇员（又称参与者）或雇主规定的。

401（k）计划与其他养老金计划的不同之处在于：当您参加401（k）计划时，您可以告知雇主您希望在账户中存入多少钱。通常每月最高可存入工资的15%，但雇主有权限制该金额。如果金额不如您的预期，您应当尽力争取一个较高的限额。美国国税局设定的全年总缴款限额为11,000美元（20xx年）。

这笔缴款是在计算税款前直接从您的工资中扣除的，更重要的是，您甚至无需亲自经手。这使得401（k）成为最方便的养老金储蓄计划之一。

如果运气好，雇主会根据您的缴款数额，提供一定比例的“搭配”缴款。雇主提供的搭配缴款，即您可以“白拿的钱”，是用来激励员工参加该计划的主要动力。雇主之所以鼓励您参加该计划完全是由于法规的制约，这一点将在稍后讨论。

账户中的资金交给第三方进行管理，管理人员负责帮您开设账户，投资共同基金、债券、货币市场等，但具体投资组合方式是由您自己决定的。管理人员通常会提供一份投资工具清单，供您从中挑选，同时会针对您愿意承担的风险水平提供一些指导。这部分内容也将在稍后讨论。

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由于新西兰老年人所占的比重越来越多，为了缓解政府在养老保障方面的压力，新西兰于20xx年开始推行KiwiSaver养老保障计划。

什么是KiwiSaver？

KiwiSaver是一项自愿的薪资储蓄计划，雇员自己每个月从薪水中按一定比例缴纳一部分，然后雇主再按照雇员缴纳的金额也同样付出一部分，他们可以选择将税前薪资的2%、4%或8%自行存入多个由政府批准的退休基金中。KiwiSaver的使用者可以自行选择基金公司来为自己的养老金账户增值或者保值，也算作是一种投资。

KiwiSaver都有哪些奖励措施？

政府为了鼓励居民多多参与到KiwiSaver计划中，还推出了一系列的奖励措施。比如：

凡是参加KiwiSaver的人可以获得1000纽币的奖励；

如果参加KiwiSaver超过3年以上，每年还都可以获得1000纽币的奖励；

KiwiSaver计划参加者首次购房时，政府每年补助1000-5000纽币不等；

计划参加者如在18岁或以上，每年最高可以获得1040纽币的退税补贴，以及40纽币/年的补助用于支付储蓄计划提供商收取的一些费用。

虽然知道这是要交钱的，但看了这么多补助，是不是有种心动不如行动的感觉~

如何加入KiwiSaver？

想要加入KiwiSaver，首先需要填写储蓄计划提供商的申请表，提供商一般指的是提供经政府注册的KiwiSaver投资组合的相关金融机构。

如果申请者是一名公司雇员，那么其税前工资的2%、4%或8%将缴费到KiwiSaver投资组合当中。如果申请者不是一名公司雇员，可以和储蓄计划提供商协定具体的储蓄额度。

截止到20xx年6月，已经有195万新西兰的雇员们加入了KiwiSaver储蓄计划，

将近全国的一半人口，可见KiwiSaver

在大家心目中的重要性。如今这一数字依旧攀升中，对于新西兰移民来说，KiwiSaver可谓是一道保障，众多的补助措施在一定程度上解决日常开销的同时，又能够在退休之后提取使用，可谓一举两得。

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上海市养老金计算方法：

按照相关政策，19xx年1月1日起参加工作，缴费年限累计满15年的“新人”，退休后可以按月领取基本养老金，其基本养老金由基础养老金和个人账户养老金者两部分组成。 19xx年底以前参加工作，缴费年限累计满15年的“中人”，退休后可以按月领取基本养老金，其基本养老金由基础养老金、个人账户养老金和过渡性养老金这三部分组成。

基础养老金这一部分，月标准将以上海市上年度职工月平均工资和本人指数化月平均缴费工资的平均值为基数，缴费每满1年发给1%。其计算公式为：基础养老金=(参保人员办理申领基本养老金手续时上年度全市职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)÷2×(1%×缴费年限)

本人指数化月平均缴费工资=参保人员办理申领基本养老金手续时上年度全市职工月平均工资×本人平均月缴费工资指数(包括视同缴费年限的缴费工资指数).

具体的公式为：本人平均月缴费工资指数=(Z1+Z2+……+Zm-1+Zm +1×n)÷N.

Z1、Z2……Zm-1、Zm为参保人员的月缴费工资指数。月缴费工资指数按照参保人员退休前1月、2月……m-1月、m月本人月缴费工资基数除以对应的本市上年度全市职工月平均工资计算(计算结果保留四位小数).

参保人员20xx年底以前实际缴费年限的月缴费工资指数统一按照1计算。

n为参保人员视同缴费年限的月数。视同缴费年限的月缴费工资指数统一按照1计算。 N为参保人员累计缴费年限的月数(含视同缴费年限的月数).

为了让读者朋友们更好地理解此次计发办法调整后的计算方式，特别是比较细致地理解“指数化工资”及3年过渡期的政策，我们按照不同缴费比例的人员，举了三个例子，供大家参照计算，详见表1.

表1:引入工资指数化后，基础养老金计发五步算法

假设参保人员缴假设参保人员缴

费总年限为30年费总年限为30年

(截至20xx年末为(截至20xx年末为

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